第3章 ☆问题解决策略：归纳-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版2024）

归纳法在“数”方面的应用　　 (江苏镇江期末)在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 (1)观察分析(特殊)： ①当a＝2，b＝5时，A，B之间的距离AB＝3； ②当a＝－2，b＝5时，A，B之间的距离AB＝7； ③当a＝－2，b＝－5时，A，B之间的距离AB＝3； (2)一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB＝|a－b|； 【问题解决】 (3)应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 (4)拓展： ①若|x－2|＝|x－6|，则x＝4； ②若|x－1|＋|x－7|＝8，则x＝8或0． 解：(1)②7　③3 [解析]②AB＝|－2－5|＝7.故答案为7.③AB＝|－2－(－5)|＝3.故答案为3. (2)|a－b| (3)因为|x－3|＝5， 所以x－3＝±5， 所以x＝－2或x＝8. (4)①4　②8或0 [解析]①|x－2|＝|x－6|，即x－2＝±(x－6)，所以x＝4.故答案为4. ②若|x－1|＋|x－7|＝8， 当x≥7时，(x－1)＋(x－7)＝8，所以x＝8； 当1＜x＜7时，(x－1)＋(7－x)＝8，方程无解； 当x≤1时，(1－x)＋(7－x)＝8，所以x＝0. 故答案为8或0. 归纳法在“形”方面的应用　　 【问题提出】以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手，通过观察、分析，最后归纳出结论． 探究一：以三角形ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把三角形ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把三角形ABC分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以三角形ABC的三个顶点和它内部的2个点P，Q，共5个点为顶点，可把三角形ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？ 　　 2题图①　　　　2题图②　　　　2题图③ 在探究一的基础上，我们可看作在图①三角形ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在三角形PAC内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在AP上，如图③；显然，不管哪种情况，都可把三角形ABC分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以三角形ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把三角形ABC分割成(2m＋1)个互不重叠的小三角形． 【探究拓展】以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成(2m＋2)个互不重叠的小三角形． 【问题解决】以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点为顶点，可把三角形ABC分割成(2m＋n－2)个互不重叠的小三角形． 【实际应用】以八边形的8个顶点和它内部的2 012个点，共2 020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 解：探究三：(2m＋1) [解析]三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3＋2(1－1)；三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3＋2(2－1)；三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3＋2(3－1)；…所以，三角形内部有m个点时，3＋2(m－1)＝2m＋1. 【探究拓展】(2m＋2) [解析]四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为4＋2(m－1)＝2m＋2. 【问题解决】(2m＋n－2) 【实际应用】把n＝8，m＝2 012代入上述代数式，得 2m＋n－2＝2×2 012＋8－2＝4 024＋8－2＝4 030. 学科网（北京）股份有限公司 $$