辽宁省盘锦市第一完全中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第一学期九年级期初质量检测数学试卷 一.选择题(共10小题,每题3分,共30分) 1.在下面用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下列方程中,关于x的一元二次方程是( ) A.2x﹣1=3x B. C.2x2+3y+2=0 D.x2+3=2x 3.下列事件是必然事件的是( ) A.从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃 B.从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球 C.任意多边形的外角和是360 D.小希走到一个红绿灯路口时,前方正好是绿灯 4.点P(2,﹣3)关于原点对称的点P′的坐标是( ) A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(﹣3,2) D.(﹣2,3) 5.抛物线y=﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y=﹣2(x+1)2+3,以下变换过程正确的是( ) A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位 D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 6.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A.a≠1 B.且a≠1 C.且a≠1 D.a>1 7.如图,将 ABC绕点A逆时针方向旋转100 得到 AB′C′,若点B′恰好落在边BC上,则∠B的度数是( ) A.40 B.50 C.60 D.70 8.为了宣传环保,某学生写了一份倡议书在微博传播,规则为:将倡议书发表在自己的微博,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有1641人参与了传播活动,则方程列为( ) A.(n+1)2=1641 B.n2+n+1=1641 C.n(n+1)=1641 D.(n﹣1)2=1641 9.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=140 ,则∠BOD的度数为( ) A.40 B.50 C.80 D.100 10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=﹣1,下列四个结论:①abc<0;②b2=4ac;③4a﹣2b+c<0;④当﹣3<x<1时,ax2+bx+c<0.其中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共5小题,每题3分,共15分) 11.已知x=1是方程x2﹣3x+c=0的一个根,则实数c的值是 . 12.抛物线y=x2+3上有两点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2),则y1与y2的大小关系为 . 13.一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球,标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,两次摸出的小球标号之和是3的倍数的概率为 . 14.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,则水面下降1m时,水面宽度增加 m. 15.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上运动,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90 得到EF,连接AF,BF,当BF的长最小时CE的长是 . 三.解答题(共8小题) 16.(10分)解一元二次方程: (1)x2+3x﹣1=0; (2). 17.(8分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系, ABC的顶点都在格点上,将 ABC绕着点O逆时针旋转90 ,得到 A1B1C1. (1)请画出 A1B1C1并直接写出A1,B1,C1的坐标; (2)求点C旋转到点C1时,线段OC在平面内扫过的图形的面积(结果保留 ). 18.(8分)如图,在长为10米,宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路(互相垂直),其余部分种植花卉,并使种植花卉的总面积为63平方米. (1)求道路的宽度; (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株,其中A种花卉每株10元,B种花卉每株8元,园林部门采购花卉的费用不超过3680元,则最多购进A种花卉多少株? 19.(8分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D,与BC的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)若点P在直线DM上,且使 OMP的面积等于2,求点P的坐标. 20.(8分)经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具,设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),销售量为y(件),销售该品牌玩具获得利润为w元. (1)销售量为y与x关系式为 ; (2)若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元; (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少? 21.(8分)如图, ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)写出DE与BC的位置关系 ; (2)求证:DE是⊙O切线; (3)若DE=3,CE=2,求⊙O的半径. 22.(12分)【观察发现】 阅读下面材料,并解决问题: (1)如图①,等边 ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为6,8,10,求∠APB的度数. 通过观察本题的解决过程完成填空. 为解决本题,可以将 ABP绕顶点A逆时针旋转60 到 ACP′处,此时 ACP′≌ ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,填空:∠APB的度数为 ; (2)【类比探究】请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题: 已知:如图②, ABC中,∠CAB=90 ,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45 .求证:EF2=BE2+FC2; (3)【拓展提升】 如图③,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=,∠ABC=30 ,点O为Rt ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120 ,求OA+OB+OC的值. 23.(13分)定义:若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数. 【初步理解】 (1)现有以下两个函数:①y=x2﹣1;②y=x2﹣x,其中, 为函数y=x﹣1的轴点函数.(填序号) 【尝试应用】 (2)函数y=x+c(c为常数,c>0)的图象与x轴交于点A,其轴点函数y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B.若OB=OA,求b的值. 【拓展延伸】 (3)如图,函数y=x+t(t为常数,t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M,C两点,在x轴的正半轴上取一点N,使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽,在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=x+t(t为常数,t>0)的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上,求n的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 参考答案与解析 一．选择题（共10小题） 1．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，两边的图形能够完全重合；将图形旋转180°，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形，掌握定义是解题的关键． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．2x﹣1＝3x B． C．2x2+3y+2＝0 D．x2+3＝2x 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、2x﹣1＝3x是一元一次方程，故A不符合题意； B、+4x+1＝0是分式方程，故B不符合题意； C、2x2+3y+2＝0是二元二次方程，故C不符合题意； D、x2+3＝2x是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．下列事件是必然事件的是（　　） A．从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃 B．从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球 C．任意多边形的外角和是360° D．小希走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【分析】根据必然事件的定义进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃是随机事件，故A不符合要求； 从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球是不可能事件，故B不符合要求； 任意多边形的外角和是360°是必然事件，故C符合要求； 小希走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯是随机事件，故D不符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件．熟练掌握必然事件的定义是解题的关键． 4．点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 5．抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≠1 B．且a≠1 C．且a≠1 D．a＞1 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＝12﹣4×（a﹣1）×（﹣）＞0，且a﹣1≠0， 解得a＞且a≠1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，则∠B的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】首先根据旋转的性质得到∠BAB′＝100°，AB＝AB′，然后利用等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝100°，AB＝AB′， ∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣100°）＝40°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用旋转的性质得到等腰三角形． 8．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．n2+n+1＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．（n﹣1）2＝1641 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2， 由题意，得：1+n+n2＝1641； 故选：B． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝40°，根据圆周角定理得出∠A＝BOD，再把∠A＝40°代入，即可求出∠BOD． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝140°， ∴∠A＝40°， ∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着， ∴∠A＝BOD， ∴∠BOD＝2×40°＝80°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线与x轴的交点可对②进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论③进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论④进行判断，据此可得出此题的答案． 【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴a、b同号，即b＞0， ∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）， ∴与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴与x轴有两个交点， 即：b2﹣4ac＞0，故②错误； ③对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c， ∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上， 又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上， ∴4a﹣2b+c＜0，故结论③正确； ④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0） ∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方， ∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确． 综上所述：结论①③④正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 二．填空题（共5小题） 11．已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1，代入原方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求解． 【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根， ∴1﹣3+c＝0， 解得：c＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12．抛物线y＝x2+3上有两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），则y1与y2的大小关系为 　y1＞y2　． 【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是y轴，由二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+3中a＝1＞0， ∴此抛物线开口向上，对称轴是y轴， ∵0＞﹣1＞﹣3， ∴y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 13．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和是3的倍数的概率为 　　． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号之和是3的倍数的结果数有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号之和是3的倍数的结果数有4种， ∴两次摸出的小球的标号之和是3的倍数的概率为＝， 故答案为：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（2﹣4）　m． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4， 故答案为：（2﹣4）． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，当BF的长最小时CE的长是 　3　． 【分析】过点E作ME⊥AB于点M，过F作FN⊥ME于点N，延长FN交BC延长线于点G，证△AME＝≌△ENF（AAS），推出AM＝EN．ME＝FN，再证四边形MBGN，MBCE是矩形，设EC＝MB＝NG＝x，由勾股定理：BF2＝BG2+FG2，求出x，当BF长最小时，CE＝3． 【解答】解：如图，过点E作ME⊥AB于点M，过F作FN⊥ME于点N，延长FN交BC延长线于点G， ∴∠MAE+∠AEM＝90°， 将线段AE绕点E顺时针旋转90° 得到EF， ∴∠AEF＝90°，AE＝FE， ∴∠FEN+∠AEM＝90°， ∴∠MAE＝∠FEN， 又∵∠AEM＝∠ENF＝90°， 在△AME和△ENF中， ， ∴△AME＝≌△ENF（AAS）， ∴AM＝EN．ME＝FN， ∵∠BME＝∠MBC＝∠BCE＝∠ENG＝90°， ∴四边形MBGN，MBCE是矩形， ∴设EC＝MB＝NG＝x， 则AM＝EN＝AB﹣BM＝6﹣x，FG＝FN+NG＝6+x，BG＝BC+CG＝BC+EN＝12﹣x， 在Rt△BFG中， 由勾股定理：BF2＝BG2+FG2， ∴BF＝ ＝ ＝， 当x＝3时， BF有最小值， ∴当BF长最小时，CE＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数最值，证明三角形全等是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．解一元二次方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）． 【分析】（1）根据公式法可以解答此方程； （2）根据公式法可以解答此方程． 【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0， a＝1，b＝3，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 该方程有两个不相等的实数根， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； （2） 化简，得：x2﹣8x+4＝0， a＝1，b＝﹣8，c＝4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×4＝48＞0， 该方程有两个不相等的实数根， ∴x＝＝＝4±2， ∴x1＝4+2，x2＝4﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程． 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1． （1）请画出△A1B1C1并直接写出A1，B1，C1的坐标； （2）求点C旋转到点C1时，线段OC在平面内扫过的图形的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）利用勾股定理求出OC的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． A1（﹣5，﹣3），B1（﹣1，﹣4），C1（﹣2，﹣1）． （2）由勾股定理得，OC＝＝， ∴线段OC在平面内扫过的图形的面积为＝． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键． 18．如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． （1）求道路的宽度； （2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【分析】（1）设道路的宽度为x米，根据矩形面积计算公式，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉（400﹣m）株，根据园林部门采购花卉的费用不超过3680元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设道路的宽度为x米， 由题意得：（10﹣x）（8﹣x）＝63， 解得：x1＝1，x2＝17（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为1米； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉（400﹣m）株， 由题意得：10m+8（400﹣m）≤3680， 解得：m≤240， 答：最多购进A种花卉240株． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点P在直线DM上，且使△OMP的面积等于2，求点P的坐标． 【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，根据AD＝2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM＝2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）设P（x，y），根据△OMP的面积等于2，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可． 【解答】解：（1）∵C（0，3）， ∴正方形OABC的边长为3， AD＝2DB，AM＝2MO， ∴D（﹣3，2）、M（﹣1，0）， 将D（﹣3，2）代入反比例中得m＝﹣6， ∴反比例表达式为y＝﹣， 将（﹣3，2）（﹣1，0）分别代入y＝kx+b中得： 解得， ∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣1； （2）设P（x，y）， S△OMP＝0.5OM•|y|＝2， ∴|y|＝4， 解得：y＝±4， 将y＝4代入y＝﹣x﹣1中得x＝﹣5， ∴P1（﹣5，4）， 将y＝﹣4代入y＝﹣x﹣1中得x＝3， ∴P2（3，﹣4）． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20．经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元． （1）销售量为y与x关系式为　y＝1000﹣10x　； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出10（x﹣40）件玩具，进而表示出销量即可； （2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，解方程即可； （3）易得w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000，结合二次函数的性质分析，即可解答． 【解答】解：（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为x元时，就会少售出10（x﹣40）件玩具， 则销量为y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x， 故答案为：y＝1000﹣10x； （2）依题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 化简得：x2﹣130x+4000＝0， ∴（x﹣50）（x﹣80）＝0， ∴x1＝50，x2＝80， ∵x＞40， ∴销售价应定为50元或80元； （3）∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务， ∴， ∴解得：44≤x≤46， 而w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000， ∵a＝﹣10＜0， ∴开口向下，有最大值， ∴， ∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大， ∴x＝46时，w最大， ∴wmax＝（46﹣30）（1000﹣460）＝8640元， 答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． 21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）写出DE与BC的位置关系 　DE∥BC　； （2）求证：DE是⊙O切线； （3）若DE＝3，CE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）由DE⊥AC，AB是⊙O的直径，得∠E＝∠ACB＝90°，则DE∥BC，于是得到问题的答案； （2）连接OD，由∠BAD＝∠CAD，得＝，则OD垂直平分BC，所以∠ODE＝∠OFC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （3）由∠CFD＝∠FDE＝∠E＝90°，证明四边形CFDE是矩形，则BF＝CF＝DE＝3，DF＝CE＝2，由勾股定理得（OB﹣2）2+32＝OB2，求得OB＝，则⊙O的半径长为． 【解答】（1）解：∵DE⊥AC交AC的延长线于点E，AB是⊙O的直径， ∴∠E＝∠ACB＝90°， ∴DE∥BC， 故答案为：DE∥BC． （2）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝， ∴OD垂直平分BC， ∵DE∥BC， ∴∠ODE＝∠OFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （3）解：∵∠CFD＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴BF＝CF＝DE＝3，DF＝CE＝2， ∵∠OFB＝90°，OD＝OB， ∴OF2+BF2＝OB2，OF＝OD﹣2＝OB﹣2， ∴（OB﹣2）2+32＝OB2， 解得OB＝， ∴⊙O的半径长为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．【观察发现】 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为6，8，10，求∠APB的度数． 通过观察本题的解决过程完成填空． 为解决本题，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，填空：∠APB的度数为 　150°　； （2）【类比探究】请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知：如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2； （3）【拓展提升】 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出△APP′为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出PP′＝AP＝6，∠AP′P＝60°，然后利用勾股定理的逆定理得出∠PP′C＝90°，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，连接E′F，由旋转的性质得出AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再利用SAS证明△EAF≌△E′AF，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出BC的值，将△AOB绕点B顺时针旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，根据旋转的性质得出∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，AO＝A′O′，BO＝BO′，AB＝AB′，∠OBO′＝60°，即可得出△BOO′是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出C、O、A′、O′四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【解答】（1）解：∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝6，CP′＝BP＝10，∠AP′C＝∠APB，∠BAP＝∠CAP′， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， 即∠BAP+∠PAC＝60°， ∴∠PAP′＝∠PAC+∠CAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， ∴PP′＝AP＝8，∠AP′P＝60°， ∴P′P2+P′C2＝62+82＝102＝PC2， ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°； （2）证明：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，连接E′F， 由旋转的性质得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠EAE′﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝90°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2； （3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，∠ACB＝30°， ∴， ∴， 如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′， ∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，AO＝A′O′，BO＝BO′，AB＝AB′，∠OBO′＝60°， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A+∠BO′O＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴． 【点评】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，　①　为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值． 【分析】（1）根据“轴点函数”的定义即可求得答案； （2）由题意得A（﹣c，0），ac2﹣bc+c＝0，即b＝ac+1，得出y＝ax2+（ac+1）x+c，设B（x′，0），则x′（﹣c）＝，得出B（﹣，0），再由OB＝OA，可得||＝c，即ac＝±4，即可求得b的值； （3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），D（t，2t），E（﹣2t，2t），分三种情况：当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），可得，整理得n2﹣n＝0，可得n＝1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），可得，消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，可得n＝﹣﹣1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），可得，进而求得n＝． 【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0）， ∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数， 故答案为：①； （2）令y＝0，得x+c＝0， 解得：x＝﹣c， ∴A（﹣c，0）， 令x＝0，得y＝c， ∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c）， ∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0， ∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1， ∴y＝ax2+（ac+1）x+c， 设B（x′，0）， 则x′（﹣c）＝， ∴x′＝﹣， ∴B（﹣，0）， ∴OB＝||，OA＝c， ∵OB＝OA， ∴||＝c， ∴ac＝±4， ∴b＝5或﹣3； （3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0）， ∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t， ∴D（t，2t），E（﹣2t，2t）， 当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图， ∴， ∴n2﹣n＝0，且n≠0， ∴n＝1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图， ∴， 消去m、t，得n2+2n﹣1＝0， 解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1， ∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧， ∴n与m同号，即n＜0， ∴n＝﹣﹣1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图， ∴， ∴n＝， 综上所述，n的值为1或﹣﹣1或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 18:17:45；用户：金秀智；邮箱：qanjindy48@xyh.com；学号：41500092 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$