精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二上学期开学素质测试数学试题

2022年马鞍山二中高二第一学期开学素质测试数学试题 满分：150分 测试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，可确定两个集合之间的关系. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：A 2. 命题“对，都有”的否定为（ ） A. 对，都有 B. 对，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可. 【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，使得. 故选：C. 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用复数的几何意义求解即得. 【详解】依题意，， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 4. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型的计算公式进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4，5中任取两个不同的数的结果为： ，共10个， 取出的2个数之差的绝对值为2的结果为：，共3个， 所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是. 故选：B. 5. 函数，，的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 在同一平面直角坐标系中作出的图象，根据图象的交点的横坐标大小关系确定出的大小关系. 【详解】由题意可知：，，的零点即为图象与图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图： 根据图象可知：， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解“函数的零点方程的根的图象和图象的交点的横坐标”. 6. 已知向量，且的夹角为，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出的模，再利用数量积的定义表示，结合，列出关于的方程，求解即可． 【详解】由可得， 因为的夹角为， 所以． 因为， 所以 所以， 解得． 故选：A． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 8. 如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作交于点，得，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，求出弧长即可. 【详解】作交于点，则由正方体性质可知，， 因为，所以， 所以点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，如图， 所以，所以， 所以， 点的轨迹的长度为弧长. 故选：D. 【点睛】思路点睛：作交于点，由定值，和求出是一个定值，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，再利用已知条件求出，再结合弧长公式即可求解. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在某次高中学科竞赛中，名考生的参赛成绩统计如图所示，分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生成绩在的人数最多 B. 考生成绩在对应的频率为 C. 不及格的考生人数为 D. 考生成绩的平均分约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，以及频率，平均分的公式即得． 【详解】由成绩统计图可知，考生成绩在内的小矩形最高，所以频率最大，对应人数最多，故A正确； 考生成绩在对应的频率为 ，故B错误； 不及格的考生人数为 人，故C错误； 考生成绩的平均分为： 故D正确． 故选：AD 10. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得与可能有平行、相交或；对于B，根据条件结合线与线位置关系即可得解；对于C，由垂直于同一条直线的两个平面平行即可得解；对于D，先由和得，再由结合面面垂直判定定理即可得解. 【详解】对于A，若，，则可能或与相交或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，故B错误； 对于C，若，，即平面和垂直于同一条直线，则，故C正确； 对于D，若，，则，又， 则存在使得，所以， 所以由面面垂直判定定理得，故D正确. 故选：CD. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数在区间上的最大值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】先依据题意求出的解析式，对于A，由得，结合正弦函数性质即可得解；对于B，先求出平移变换后的解析式，再根据奇偶性的判定方法求出其为偶函数即可判断；对于C，计算即可判断；对于D，由求出的值域即可求的值域，进而得的最大值. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图像解析式为， 所以由题意， 对于A，时，， 所以由正弦函数性质可知，函数在区间上为增函数，故A正确； 对于B，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象解析式为 ， 所以，又定义域为R关于原点对称， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，因为， 所以不是函数的图象的一个对称中心，故C错误； 对于D，时，，则， 所以. 所以函数在区间上的最大值为，故D错误. 故选：AB. 12. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；求出的范围计算判断B；利用1的妙用，结合单调性判断C；消元，结合二次函数判断D. 【详解】对于A，，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，，得，则，B错误； 对于C，由，得， 对单调递增，，C错误； 对于D，，而， 则当时，取得最小值，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合对数型函数的单调性列出不等式组求解即得. 【详解】函数是定义在上的减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由原7个数的方差求出，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，即可根据方差公式求出新方差. 【详解】原7个数的方差为，即， 加入一个新数据2后所得8个数的平均数为， 所以这8个数的方差为. 故答案为: . 15. 平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由题意得，，，再结合计算以及即可得解. 【详解】由题意可得，，， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故答案为：. 16. 三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，点在底面的投影即为的外心，再利用正弦定理求得外接圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可. 【详解】 过点作平面，垂足为，连接、、， 因为，所以， 故点是底面的外心，设外接圆的半径， 由正弦定理，所以，， 所以，， 设三棱锥的外接球球心为，显然在线段上， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则，，又， 所以，，， 三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）用定义证明在上为增函数. 【答案】（1） （2） 设， 则 ， 因为，所以，，，则， 故，所以，即， 所以在上为增函数. 【解析】 【分析】（1）依据奇函数性质得和，由结合条件时求出时的解析式即可得解. （2）根据判断函数单调性的定义法步骤先取值，接着作差并变形判断差值正负即可下结论得解. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 又当时， 所以当时，，， 所以当时，， 故. 【小问2详解】 略 18. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解. （2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解. 【小问1详解】 ， 由，得， 因为，所以或， 所以在上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，，所以， 由题，，解得. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可证明. （2）可把三棱锥的体积转化为的体积来计算即可. 【详解】(1) 底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，点为棱的中点， ∴， ∴，， ∵，可得. (2)因为为的中点，故， 因为底面，故， 所以. 【点睛】本题考查空间向量在线线垂直关系中的应用以及三棱锥体积的求法，解题时注意根据题设条件选择合适的建系的方式，如果三棱锥的体积不易计算，可通过同高不同底或同底不同高把体积的计算转化为其他三棱锥的体积. 20. 已知中，，，的平分线与交于点，且，其中，，分别为内角，，的对边，求 （1）角； （2）的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式以及余弦定理求解； （2）利用等面积关系，以及面积公式求解. 【小问1详解】 由题， ， 即， 由正弦定理，得， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，即， 又，， 联立可得：， 因为，所以，所以. 21. 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： （1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （2）出现几人合格的概率最大？ 【答案】（1）； （2）出现2人合格的概率最大. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率求解即得. （2）求出两人合格的概率，再利用对立事件的概率公式求出一人合格的概率，比较大小即得. 【小问1详解】 设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，，，显然，，相互独立， 且，，，设恰有人合格的概率为， 则， . 【小问2详解】 ，， 而，所以出现2人合格的概率最大. 22. 如图所示，几何体中，平面平面，为正三角形，四边形为菱形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，则为中点，取中点，连接，，求证四边形为平行四边形即可得，再由线面平行的判定定理即可得证平面. （2）取的中点，连接，结合已知条件证明平面从而得，作交于点，从而得平面，进而得为二面角的平面角，求出和即可由得解. 【小问1详解】 连接交于点，则为中点， 取中点，连接，， 则且，又且，则且， 则四边形为平行四边形，故，即， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 作交于点，则因为且平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 因为，所以，， 又，则由题意为正三角形，所以， 故，即二面角的正切值为2. 【点睛】思路点睛：垂面法是求解二面角的一个常用的几何法，对于求二面角的正切值，本题中通过取的中点，连接和作交于点，作出关于二面角的棱的垂面，从而找到二面角的一个平面角，求该角正切值即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年马鞍山二中高二第一学期开学素质测试数学试题 满分：150分 测试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“对，都有”的否定为（ ） A. 对，都有 B. 对，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数，，的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且的夹角为，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在某次高中学科竞赛中，名考生的参赛成绩统计如图所示，分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生成绩在的人数最多 B. 考生成绩在对应的频率为 C. 不及格的考生人数为 D. 考生成绩的平均分约为 10. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数在区间上的最大值为1 12. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是___________. 14. 已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为___________. 15. 平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则___________. 16. 三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）用定义证明在上为增函数. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 20. 已知中，，，的平分线与交于点，且，其中，，分别为内角，，的对边，求 （1）角； （2）的面积. 21. 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： （1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （2）出现几人合格的概率最大？ 22. 如图所示，几何体中，平面平面，为正三角形，四边形为菱形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $