精品解析：安徽省绩溪中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

绝密★启用前 安徽省绩溪中学2024－2025学年第一学期高二开学考数学试卷 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的模为 D. 复数的虚部为 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用复数除法法则计算出，得到复数在复平面内对应的点在第四象限，A错误；B选项，根据共轭复数定义得到B错误；C选项，利用模长公式求出C正确；D选项，根据虚部的定义得到D错误. 【详解】A选项，， 故复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，A错误； B选项，复数的共轭复数为，B错误； C选项，复数的模为，C正确； D选项，数的虚部为，D错误. 故选：C 3. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出点数之和不小于8的情况数，结合两次点数共有36种情况，求出概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况， 其中点数之和为8的情况如下：， 点数之和为9的情况如下：， 点数之和为10的情况如下：， 点数之和为11的情况如下：， 点数之和为12的情况如下：， 故点数之和不小于8的情况共有种， 则点数之和不小于8的概率为. 故选：C 4. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形给定等式，结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由，得， 整理得，而， 解得，而，所以. 故选：B 5. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的零点转化为方程的解，转化为函数与的交点，数形结合即可解得. 【详解】解：函数的零点，即方程的解， 即，转化为函数与的交点， 在同一平面直角坐标系上作出函数与的图象，如下所示： 从函数图象可知，与有两个交点，即方程有两个实数根，即函数有两个零点， 故选： 【点睛】本题考查函数的零点，体现了函数方程思想及数形结合思想，属于基础题. 6. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】原式可化为，再利用基本不等式即可求出的最大值． 【详解】可变形为， 因为，所以， 解得， 当且仅当时，即，时，等号成立 取到最大值， 故选：C. 7. 若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】 如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形， 因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1， 所以的边长为， 所以圆锥的底面半径为，又高为， 故圆锥体积， 故选：B. 8. 在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得． 【详解】 如图所示， ∵，所以O为的重心， 连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF， 则四边形ABFC为平行四边形， ，， ， 即，又因为，所以， ∴，， 设，则， 在中由余弦定理得， 即，解得，即. 又， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD. 【详解】，故A正确，B错误； 因为， 所以 ，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上的最大值为 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】降幂公式以及辅助角公式求出的解析式，结合三角函数的图象与性质再逐一分析所给命题的真假. 【详解】 , 对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误； 对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确； 对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确； 故选：BD 11. 2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ） A. 存在无数个点，使得平面 B. 当平面平面时，点的轨迹长度为 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 存在无数个点，使得平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质判断A，根据平面，判断点的轨迹，判断B，根据面面平行的性质定理，判断点的轨迹，即可判断C，若平面平面，确定点的轨迹，即可判断D. 【详解】该球的表面积，所以，且正方体的棱长，满足，则， A.由题意可知，平面平面，且平面，故平面， 则点的轨迹为正方形的外接圆，故有无数个点满足，故A正确； B.易知平面，且平面平面，平面， 故点的轨迹为矩形的外接圆，其周长为，故B错误； C.因为平面，设过且与平面平行的平面为，则的轨迹为与外接球的交线，其半径为，周长为，故C正确； D.若平面平面，则点在以为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点满足，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角是，，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算性质求解. 【详解】因为，，向量与的夹角是， 所以， 即，解得或（舍去）， 故答案为：4 13. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里. 【答案】 【解析】 【分析】分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算． 【详解】连接， 由题意可知，，，，， ，， 在中，由正弦定理得，， 在中， ，，． 在中，由余弦定理得． 故答案为： 14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．则打完4场结束比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可知连胜两局的概率为，即可求解p，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可. 【详解】解：令事件为一方在第i局获胜，， 则连胜两局的概率，解得， 若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可， 其中一方在第1、2、4场获胜的概率， 其中一方在第1、3、4场获胜的概率， 其中一方在第2、3、4场获胜的概率， 所以打完4场结束比赛的概率， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）且. 【解析】 【分析】（1）先设的坐标，再利用向量垂直关系得到向量积为0和它的模已知列方程组求坐标； （2）利用向量夹角为锐角，肯定向量积大于0，但要注意检验是否有可能夹角为0即可. 【小问1详解】 由，可得， 设，则由，可得， 又因为，可得，联立方程组解得：或 即或. 【小问2详解】 由与的夹角为锐角，可得， 代入，可得：， 解得， 当时，，可得， 解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形， 综上可得与的夹角为锐角时，且. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； 【小问2详解】 设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 60 75 高二 63 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差. 【答案】（1）；；； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率分布直方图估计众数、平均数、百分位数的方法求解作答. （2）根据表中数据，利用分层抽样结合平均数、方差的定义计算作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，学生成绩在内的频率分别为： ，显然学生成绩在内的频率最大， 所以估计该校全体学生成绩的众数为； 平均数； 显然第71百分位数，由，解得， 所以第71百分位数为. 【小问2详解】 显然样本中高一、高二、高三年分别抽取了人、人、人， 记样本中高一学生的成绩为，高二学生的成绩为， 高三学生的成绩为， 于是，，， 因此，解得， 样本中三个年级成绩的方差， 高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为，方差分别为， 则有，， ， 同理，， 因此 ，解得， 所以估计高三年级学生成绩的平均数，高二年级学生成绩的方差. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】（1） 连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. 【小问3详解】 连接，，则且， 又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，求在上的值域即可得证； （2）根据“翻倍区间”的定义，得到函数需满足的方程，求解方程组即可得解； （3）由题意转化为单调递增且，再转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 故是函数的一个“翻倍区间”； 【小问2详解】 假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有  解得，， 由知所有“翻倍区间”为； 【小问3详解】 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而， 可得，解得， 由知可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 安徽省绩溪中学2024－2025学年第一学期高二开学考数学试卷 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的模为 D. 复数的虚部为 3. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上的最大值为 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 在上单调递减 11. 2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ） A. 存在无数个点，使得平面 B. 当平面平面时，点的轨迹长度为 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 存在无数个点，使得平面平面 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角是，，，则__________． 13. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里. 14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．则打完4场结束比赛的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 60 75 高二 63 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $