2.2.1 直线的点斜式方程（4大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.1 直线的点斜式方程 知识点1 直线方程的概念 1、直线方程 一般地，如果直线上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线上，则称为直线的方程，而直线称为方程的直线．此时，为了简单起见，“直线”也可说成“直线”，并且记作：． 2、对直线方程的理解 （1）在这个概念中，需要同时满足两点：①以方程的解为坐标的点都在直线上；②直线上点的坐标都是方程的解，即坐标代人方程，方程成立．只有这两点都满足了，方程才是直线的方程，直线才是方程的直线． （2）在这个概念下，我们常把图象是直线的方程称为直线，如直线，直线等． 知识点 2 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】对直线点斜式方程的理解 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 知识点 3 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 1、求直线的点斜式方程的一般步骤 （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 在求直线方程的时候会用到线段中点的坐标公式：若已知点，，线段的中点的坐标为，则． 2、求直线的斜截式方程的策略 （1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在； （2）直线的斜截式方程只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立的条件即可． 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·月考）过点且斜率为的直线的点斜式方程为 . 【变式1-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·广东广州·月考）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏苏州·月考）直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 ． 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二上·陕西渭南·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东·月考）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 题型三 直线的图象特征问题 【例3】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·北京怀柔·期中）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 【变式3-3】（23-24高二上·贵州遵义·月考）直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 点斜式与斜截式的应用 【例4】（23-24高二上·天津·月考）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知点，，是的三个顶点． (1)求三边的中点及、边的中线； (2)求边的上高所在直线. 【变式4-2】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏启东·月考）已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 直线的点斜式方程 知识点1 直线方程的概念 1、直线方程 一般地，如果直线上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线上，则称为直线的方程，而直线称为方程的直线．此时，为了简单起见，“直线”也可说成“直线”，并且记作：． 2、对直线方程的理解 （1）在这个概念中，需要同时满足两点：①以方程的解为坐标的点都在直线上；②直线上点的坐标都是方程的解，即坐标代人方程，方程成立．只有这两点都满足了，方程才是直线的方程，直线才是方程的直线． （2）在这个概念下，我们常把图象是直线的方程称为直线，如直线，直线等． 知识点 2 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】对直线点斜式方程的理解 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 知识点 3 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 1、求直线的点斜式方程的一般步骤 （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 在求直线方程的时候会用到线段中点的坐标公式：若已知点，，线段的中点的坐标为，则． 2、求直线的斜截式方程的策略 （1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在； （2）直线的斜截式方程只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立的条件即可． 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·月考）过点且斜率为的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】由题意直线过点且斜率为，则其点斜式方程为. 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，所求直线的斜率为，所以直线方程为.故选：D 【变式1-2】（23-24高二上·广东广州·月考）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏苏州·月考）直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 ． 【答案】 【解析】由直线得此直线的斜率为， 所以倾斜角为，从而所求直线的斜率为， 则所求直线的斜率为，由直线过点， 所以所求直线为：，即. 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二上·陕西渭南·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线化为， 则斜率为1，故其倾斜角为.故选：B 【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的倾斜角为， 因此该直线的斜率，又，所以.故选：D 【变式2-2】（23-24高二上·山东·月考）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为，则倾斜角为， 因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，解得.故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【答案】(1)或；(2)或；(3)或． 【解析】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为或. （2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为， 设直线方程为，又因为在轴上的截距是， 所以将代入解得直线方程为或. （3）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为， 设所求直线为，将代入可得， 所以所求直线方程为或． 题型三 直线的图象特征问题 【例3】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意，故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·北京怀柔·期中）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项， A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误， C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.故选：C 【变式3-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 【答案】④ 【解析】对于①，由得，，而由得，，矛盾，故①错误； 对于②，由得，，而由得，，矛盾，故②错误； 对于③，由得，，而由得，，矛盾，故③错误； 对于④，由得，，由得，，故④正确． 故答案为：④. 【变式3-3】（23-24高二上·贵州遵义·月考）直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确． 对于B选项，当时，符合题意，B正确． 对于C选项，当或时，符合题意，C正确． 对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．故选： 题型四 点斜式与斜截式的应用 【例4】（23-24高二上·天津·月考）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 又，所以，解得. 所以.故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知点，，是的三个顶点． (1)求三边的中点及、边的中线； (2)求边的上高所在直线. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题知：，，， 设三边上的中点分别为：， 所以边上中点，边上的中点， 边上的中点， 所以边中线为； 所以边的中线斜率为， 得边的中线方程为，即. （2）由题知边的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为， 又因为高所在直线过点， 所以上的高所在直线方程为：，即：. 【变式4-2】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点， 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由，可得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率，且过点， 所以角平分线所在直线l的方程为． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏启东·月考）已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）由， 故直线过定点，且该点在第一象限， ∴无论为何值，直线必经过第一象限. （2）由（1）知：要使直线不经过第二象限， 则，而， ∴，即的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$