第07讲不等式的基本性质（4种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第07讲 不等式的基本性质（4种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小． 知识点2：不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b， c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0， c>d>0⇒ac>bd 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据． (2)应用同向可加性时，应注意“同向”． (3)同向同正可乘性应注意数的正负． 2.利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 3.利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 知识点3：利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型1：不等关系的建立 【例题1】．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【变式1】（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为 ． 【变式3】（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 题型2：不等式的性质 【例题2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 题型3：利用不等式的性质比较大小 【例题3】（21-22高一上·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【变式3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，且，证明：． 题型4：利用不等式的性质求取值范围 【例题4】（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知：，求下列各式的取值范围. (1)； (2) 易错点1：方法选择不当而致错 【例题1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 易错点2：误用不等式的性质而致错 【例题2】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求 的取值范围； (2)求 的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·甘肃金昌·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 3．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（22-23高一上·山东·阶段练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 8．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）给出四个条件： ①； ②；③； ④． 其中能成为的充分条件的有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 10．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）某研究小组由学士､硕士和博士组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）学士人数多于硕士人数；（2）硕士人数不少于博士人数；（3）博士人数的三倍多于学士人数的两倍.若博士人数为5，则硕士人数的最大值为 ；该研究小组人数的最小值为 . 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）a、b、c、d是整数，，，求证：mn可表示成两个整数的平方和的形式． 17．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）（1）已知实数满足，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 19．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 不等式的基本性质（4种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小． 知识点2：不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b， c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0， c>d>0⇒ac>bd 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据． (2)应用同向可加性时，应注意“同向”． (3)同向同正可乘性应注意数的正负． 2.利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 3.利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 知识点3：利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型1：不等关系的建立 【例题1】．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解. 【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值含义即可得到不等式. 【详解】根据题意知该重量与500克作差的绝对值小于等于1. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用不等式的意义进行表示. 【详解】①最低限速50km/h，；②限制重量10t，；③限制高度3.5m，； ④限制宽度3m，；⑤通行时间7:30-10:00，. 题型2：不等式的性质 【例题2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合不等式性质，即可判断A；结合不等式性质利用反例当时，可得选项B错误；利用作差法比大小来判断C、D的正误，即得结果. 【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】由不等式的性质直接证明即可. 【详解】证明：因为，，所以， 又因为，，所以， 由不等式传递性，． 题型3：利用不等式的性质比较大小 【例题3】（21-22高一上·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可判断． 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 【变式3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，且，证明：． 【答案】证明过程见解析 【分析】作差，用不等式性质得，用反证法得，由此即可得解. 【详解】， 因为，所以， 而，结合可知， 理由如下：若，则，这与矛盾，故不可能大于或等于0， 所以， 所以，即. 题型4：利用不等式的性质求取值范围 【例题4】（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用整体的思想，将用这两个整体表示，再根据不等式的性质运算即可. 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以, 所以, 即, 故选：D. 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【详解】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知：，求下列各式的取值范围. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，然后求出的范围. （2）借助（1）中的范围，利用不等式性质求出范围. 【详解】（1），， ， ，即. （2），， 又由（1），， . 易错点1：方法选择不当而致错 【例题1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 【变式1】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值验证法，逐一判断即可得解 【详解】，，，，故选项A错误； 当时，，故选项B错误； ，，故选项C正确； 当时，，故选项D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确. 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 易错点2：误用不等式的性质而致错 【例题2】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 故选：D 【变式1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法及不等式的性质即可求解. 【详解】令，则， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 又 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可得的取值范围. 【详解】因为，， 所以； 即的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求 的取值范围； (2)求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用不等式的性质对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1） （2）由， . 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非正数含义即可得到答案. 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 2．（22-23高一上·甘肃金昌·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质或使用特例，判断命题的真假. 【详解】当，时，满足，但，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，满足且，但，故C选项错误； 若，，则，故D选项正确． 故选：D． 3．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：A 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用不等式性质，结合特殊值法逐个判断即可. 【详解】对于①，因为且， 根据不等式性质，可得， 取，时，， 所以且可以推出，但不能推出，故①错误； 对于②，， 因为且，所以且， 所以，即， 所以且不能推出，故②错误； 对于③，因为，所以，故③正确； 对于④，， 因为，所以，所以，即， 所以可以推出，故④正确. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围可分别求得的范围，再利用不等式性质可得结论. 【详解】因为，所以， 由不等式性质可得， 即． 故选：C 6．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 7．（22-23高一上·山东·阶段练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【答案】D 【分析】由条件列不等式，化简不等关系可得明年的产量的预测值得范围. 【详解】设明年的产量为袋，则， 所以， 故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间， 故选：D. 8．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）给出四个条件： ①； ②；③； ④． 其中能成为的充分条件的有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件的定义即可得解. 【详解】对于①，因为，所以，所以， 所以能成为的充分条件； 对于②，当时，由，得， 所以不能成为的充分条件； 对于③，当时，， 所以不能成为的充分条件； 对于④，当时，， 所以不能成为的充分条件. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 10．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）某研究小组由学士､硕士和博士组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）学士人数多于硕士人数；（2）硕士人数不少于博士人数；（3）博士人数的三倍多于学士人数的两倍.若博士人数为5，则硕士人数的最大值为 ；该研究小组人数的最小值为 . 【答案】 6 10 【分析】设学士人数､硕士人数､博士人数分别为x，y，z，且，再根据题意列不等式.（1）代入进而讨论即可；（2）分别讨论时分析即可. 【详解】设学士人数､硕士人数､博士人数分别为x，y，z，且，由题意得. 当时，，故x的值最大为7，y的值最大为6，则硕士人数的最大值为6. 当时，，矛盾， 当时，，矛盾， 当时，，故可取， 当时，因为，故小组的人数综合必大于当时的情况. 则研究小组人数的最小值为. 故答案为：6；10 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合作差法分析判断. 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质即可求的取值范围，化简，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】由，， 则两式相加得，故， 因为， 所以，， 则两式相加得. 故答案为：，. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）a、b、c、d是整数，，，求证：mn可表示成两个整数的平方和的形式． 【答案】证明见解析 【分析】利用配方法可得答案. 【详解】因为， 所以或 因为都是整数，所以都是整数， 所以可表示成两个整数的平方和的形式． 17．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）（1）已知实数满足，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，，结合可加性求解； （2）由，结合不等式的性质求解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以的取值范围是． （2）设 则， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 19．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$