精品解析：2024年黑龙江省绥化市肇东市肇东市五校联考模拟预测数学试题

2024年数学联考试题 1.考试时间120分钟 2.本试题共三道大题，28道小题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑 1. 的相反数为（ ） A. B. 2020 C. D. 2. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2a＋5a＝7a2 B. （－2a）3＝8a³ C. －8a²÷2a＝－4a D. 3a2·a3＝3a6 4. 用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≥且x≠0 C. x＞ D. x≥ 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有理数和数轴上的点是一一对应的 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于方程的根的说法中，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 两实数根的和为 C. 有两个不相等的实数根 D. 两实数根的积为 9. 某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数是88 B. 众数是85 C. 中位数是90 D. 方差是6 10. 为应对市场对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意列方程（　　） A. B. C. D. 11. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（　　）m． A. +1.6 B. ﹣1.6 C. +0.9 D. ﹣0.9 12. 如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　） A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 13. 人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈，据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，将其用科学记数法表示为____________米 14. 计算：=_________． 15. 如图4×4正方形网格，随机在图形中撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是____________. 16. 如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 _____． 17. 如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为___________________ ． 18. 反比例函数与一次函数的图象有一个交点，则k的值为________． 19. 如图，在中，，，，点为内一动点．过点作于点，交于．若为等腰三角形，且，则的长为____． 20. 学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 ___种． 21. 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以点C为圆心3为半径作⊙C分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 _____． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 23. 如图，平分，且交于点C． （1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使△和位似比为，并写出点的坐标 ； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形；则点B所经过的路径长为 ． 25. 已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为10，，求的长． 26. 甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_________千米/时，轿车的速度是__________千米/时； （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式； （3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？ 27. 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． （1）若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； （2）如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 28. 如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； （3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年数学联考试题 1.考试时间120分钟 2.本试题共三道大题，28道小题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑 1. 的相反数为（ ） A. B. 2020 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的相反数为－（-2020）=2020． 故选B． 【点睛】此题考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义． 2. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形就是中心对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2a＋5a＝7a2 B. （－2a）3＝8a³ C. －8a²÷2a＝－4a D. 3a2·a3＝3a6 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的法则和整式的加减乘除运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、2a＋5a＝7a≠7a2，该选项错误； B、，该选项错误； C、－8a²÷2a＝－4a，正确； D、，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 4. 用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，是一行三个圆． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向． 5. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≥且x≠0 C. x＞ D. x≥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解． 【详解】解∶根据分式有意义可得：， 根据二次根式有意义可得：，解得： ， 综合可得：且． 故选B． 【点睛】本题主要考查求函数自变量的取值范围，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件． 6. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有理数和数轴上的点是一一对应的 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短逐项分析判断即可 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，不符合题意， B. 两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，不符合题意， C. 实数和数轴上的点是一一对应的，是假命题，不符合题意， D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短是解题的关键． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解一元一次方程的步骤分别解出不等式，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①化简，得， 由②化简，得， 在数轴上画出解集如下图， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的解法以及数轴上表示解集的方法，解出不等式，准确判断方向画出范围是解题的关键． 8. 关于方程的根的说法中，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 两实数根的和为 C. 有两个不相等的实数根 D. 两实数根的积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式得到根的情况，根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后对四个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故A选项不符合题意，C选项符合题意． ∵有两个不相等的实数根， ∴两实数根之和为，两实数根之积为． 故B选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识点是解题关键． 9. 某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数是88 B. 众数是85 C. 中位数是90 D. 方差是6 【答案】C 【解析】 【分析】写出这分别10名学生的参赛成绩，再根据定义解题：众数，一组数据中出现次数最多的数；中位数，一组数据按顺序排列，位于正中间的一个数（或位于正中间的两个数的平均值）；方差． 【详解】解：10名学生的参赛成绩：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95， 平均数是，众数是90，中位数是， ，即选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10. 为应对市场对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产万份疫苗，再根据现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天列出方程即可． 【详解】解：设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产万份疫苗， 由题意得，， 故选：B． 11. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（　　）m． A. +1.6 B. ﹣1.6 C. +0.9 D. ﹣0.9 【答案】B 【解析】 【分析】延长BA交CM于点M，先在Rt△DCM、Rt△CEB、Rt△AEM中分别求出CM、EB、EA，再利用线段的和差关系求出AB． 【详解】解：如图，延长BA交CM于点M，则四边形CEBF是矩形． ∵四边形CEBF是矩形， ∴CE＝FB＝5m． ∵DNCE， ∴∠NDM＝∠DMC＝45°． 在Rt△DCM中， ∵∠DMC＝45°， ∴DC＝CM＝3.4m． ∴ME＝CE﹣CM＝5﹣3.4＝1.6（m）． 在Rt△AEM中， ∵∠DMC＝∠EMA＝45°， ∴AE＝ME＝1.6m． 在Rt△CEB中， ∵∠ECB＝30°，tan∠ECB＝， ∴EB＝tan30°•EC ＝×5 ＝． ∴AB＝EB﹣EA ＝﹣1.6（m）． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质，掌握“等角对等边”、特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 12. 如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　） A. ①③⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判定①，特殊点判断②，对称轴结合特殊点判断③，图象法确定一元二次方程的根判断④，图象法判断⑤． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，；故②正确； ∵图象经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 由对称性可知：抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根为：， ， ， ， 的两根，，故④正确； ∵若m，n（）为方程的两个根， 则抛物线与直线的交点的横坐标分别为， 由图象可知：当时，或， ∴且；故⑤正确； 故选：B． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 13. 人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈，据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，将其用科学记数法表示为____________米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 计算：=_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可． 【详解】原式 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键． 15. 如图4×4正方形网格，随机在图形中撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意阴影部分的面积乘以总面积即可求解． 【详解】解：依题意，随机在图形中撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，理解题意是解题的关键． 16. 如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简分式，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：， ． 将，代入，得：． 故答案为： 【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 17. 如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 根据题意得 解得 即该圆锥底面圆的半径为 故答案为：． 18. 反比例函数与一次函数的图象有一个交点，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：将点代入一次函数， 得， 解得， ， 将点坐标代入反比例函数解析式， 得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，求解的值是解决本题的关键． 19. 如图，在中，，，，点为内一动点．过点作于点，交于．若为等腰三角形，且，则的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】分以下三种情况：①若，过点作于，有；②若，过点作于，则在中先求出的长，从而根据可得出的长；③若，由勾股定理以及相似三角形的判定与性质分别求出的长，此时，此种情况不存在．综上可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 分以下三种情况： 若，如图，过点作于， 则四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②若，如图，过点作于， 则四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴； ③若，如图， 则在中，根据勾股定理得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，不符合题意． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行线的判定等知识点，解题的关键是综合运用相关性质进行推理并运用分类讨论思想． 20. 学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 ___种． 【答案】2 【解析】 【分析】设两种奖品分别购买x个、y个，根据单价、数量及总价之间关系列方程，求出y与x间关系式，由x和y均为正整数判断出x所有可能的取值，即可求出答案． 【详解】解：设购买A奖品x个，B奖品y个． 根据题意可知： 化简得： 解得 由题意x和y均为正整数，因此x只可以为5或10 解得或 综上，共有2种购买方案． 故答案为：2 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意求出y与x间关系式，由x和y均为正整数判断出x所有可能的取值是解题关键，期间要避免漏解的情况发生． 21. 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍． 【答案】2n+1 【解析】 【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可． 【详解】解：由图可知： 拼成第一个图形共需要3根火柴棍， 拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍， 拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍， ... 拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍， 故答案为：2n+1． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以点C为圆心3为半径作⊙C分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求． 【详解】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，BQ， ∵AC＝9，CP＝3， ∴， ∵CP＝3，CQ＝1， ∴＝， ∴△ACP∽△PCQ， ∴PQ＝AP， ∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ， ∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小， 在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ=1， ∴QB＝， ∴PA+PB的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，解题的关键是利用三角形相似将PA转化为PQ． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 23. 如图，平分，且交于点C． （1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，射线为所求； （2） 证明：∵， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线； （2）利用角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，所以，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使△和位似比为，并写出点的坐标 ； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形；则点B所经过的路径长为 ． 【答案】（1） 如图，为所作， 点的坐标为； （2）如图，为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换． （1）延长到使，延长到使，则满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，从而得到，然后根据弧长公式计算点所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图，为所作， 点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，为所作， ， 所以点所经过的路径长． 故答案为：． 25. 已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：连接AC，如图所示， ∵OF⊥BC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）BH=15 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线； （2）连接，由垂径定理得出，得出，再由公共角，证明，得出对应边成比例，即可得出结论； 连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为10，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 26. 甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_________千米/时，轿车的速度是__________千米/时； （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式； （3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？ 【答案】（1）60，90 （2） （3）货车出发小时或6小时时两车相距120千米 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度以及轿车的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式； （3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米． 【小问1详解】 解：由图象可得， 货车的速度为：（千米时）， ， 轿车的速度为：（千米时）， 故答案为：60，90； 【小问2详解】 当时，设轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是， 点在该函数图象上， ， 解得， 即当时，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是； 当时，； 当时，设轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是， 点，在该函数图象上， ，解得， 即当时，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是， 由上可得，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是； 【小问3详解】 设货车出发小时时两车相距120千米， 两车相遇之前：， 解得， ， 时符合题意； 两车相遇之后且轿车维修好之前：， 解得， ， 不符合题意， ， 解得， 当时，，此时轿车刚刚维修好，符合题意； 轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米； 由上可得，货车出发小时或6小时时两车相距120千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 27. 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． （1）若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； （2）如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 【答案】（1）①；②或 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）①根据材料提示的计算方法分类讨论“或”计算，结合实际情况取值，即可求解；②根据材料提示，分类讨论“或”，即可求解； （2）证明，可得，由此即可求解； （3）证明可得，，证明可得，，设，由此列式即可求解． 【小问1详解】 解：∵是“倍余子母形”， ， ∴①当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，，不符合题意，舍去； 故答案为：； ②当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：存在，，理由如下， 如图所示，假设上有一点，满足是“倍余子母形”， ∵是“倍余子母形”， ∴只有当， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴存在，； 【小问3详解】 解：在四边形中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当是“倍余子母形”时， ∵，但， ∴只有， ∴，且， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，新定义，角度的和差计算等知识的综合，理解材料中“倍余子母形”的含义，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28. 如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； （3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）当时，的面积最大，最大值为6．此时点的坐标为； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：①当时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求得线段即可；②当时，四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质求得线段即可求得结论． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：． 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，如图， 点的坐标是，点， ，． 点在第四象限的抛物线上， 设点的坐标为， 则，． ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为6． 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：点的坐标为或或，或，．理由： ①当时，四边形为平行四边形，如图， 轴， 令，则， 解得：或3． ． ． 四边形为平行四边形， ． ． ； 四边形为平行四边形，如图， 同理可得：， ； ②当时，四边形为平行四边形时，如图， 过点作轴于点， 四边形为平行四边形， ． ． 在和中， ， ． ，． 令，则， 解得：． ， ， ． ． ； 如图， 同理可得：， ，． 令，则， 解得：． ， ． ， ． ． ． ， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，抛物线上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $