2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时） -2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册）

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时） 人教A版2019必修第一册 1.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题。 2．能够利用一元二次不等式解决恒成立问题。 3．能够应用一元二次不等式解决分式不等式，高次不等式。 教学目标 温故知新 01 情景导入 将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式 计算Δ=b2-4ac的值. △>0方程ax2＋bx＋c=0 有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2） 方程ax2＋bx＋c=0没有实数根 原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2} 原不等式的解集为{x|x≠－ } 原不等式的解集为R “三个二次”的关系 02 概念讲解 例1．不等式x2+mx-n<0的解集为{x｜4<x<5}，求关 于x的不等式nx2+mx-1<0的解集. 分析：利用一元二次方程与一元二次不等式的关系，得出其根与系数的关系。 解：因为x2+mx-n<0的解集为{x｜4<x<5}，所以方程x2+mx-n=0有两实根4和5；由韦达定理知m=-9, n=-20 ; 从而由不等式nx2+mx-1<0 得 20x2+9x+1>0 , 其解集为 {x｜x< ，或 x> } 概念讲解 概念讲解 练习：若不等式的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式的解集． 恒成立问题 03 概念讲解 例2.不论取何值，不等式恒成立，求的取值范围. 解：因为不等式恒成立， 即函数的图像全部在轴下方. （1）当时，，显然对任意不能恒成立； （2）当时，由二次函数图像可知有 ∴ 综上所述，解得的取值范围是{|} 概念讲解 练习1：已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 解：因为不等式恒成立， 即函数的图像全部在轴上方. 所以即 概念讲解 练习2：已知关于x的不等式(m-1)x2-x+1>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 解：①当m=1时，显然不符; ②当m≠1时，由已知，二次函数y=(m-1)x2-x+1开口朝上，且与x轴无公共点， 即 故原不等式的解集为 {m｜x>} 分式、高次不等式 04 概念讲解 例3.(1)求不等式 的解集 分析：观察发现，分式不等式，分子分母相除大于0，即分子分母同号，即分子与分母相乘也大于0，也就是可以转换为一元二次不等式(x-1)(x+3)>0 解：不等式可化为(x-1)(x+3)>0 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1} 概念讲解 例3.(2)求不等式 的解集 解： 不等式可化为(-2x-1)(x+3)>0， 即(2x+1)(x+3)<0 ∴不等式的解集为 分式不等式右侧要始终为0. 概念讲解 例4.求不等式(x+1)(1-x)(x-2)>0的解集 化成(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0(或<0)，系数必须化为正数 即 1.化标准： 2.解出对应方程的所有根， 3.标根： 4.穿根： 从上向下，从由向左，奇穿偶回 在数轴上从左到右依次标出各根 5.下结论： 大于取数轴上方的范围，小于取数轴下方的范围 -1 1 2 概念讲解 练习：解不等式 x(x-1)(2-x)(x+3)>0 解：不等式化为x(x-1)(x-2)(x+3)<0 由数轴穿根法，如图， 0 1 2 -3 + + + - - 所以解集为{x|-3<x<0或1<x<2} 课堂小结 05 课堂小结 归纳小结：　 由一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系． （1）如果不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|d<x<e}，则说明a<0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－eq \f(b,a)，d·e＝eq \f(c,a)； （2）若解集为{x|x<d或x>e}，则说明a>0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－eq \f(b,a)，d·e＝eq \f(c,a). 解：∵不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a).))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.)) ∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0， 即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5， ∴所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}． $$