专题13 空间向量与立体几何（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题13 空间向量与立体几何（练习） 一、填空题 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 2．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 3．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 5．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 6．四棱锥中，，，则这个四棱锥的高是 . 7．如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点.则 . 8．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 9．如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 10．若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为 ． 11．在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点 . 12．如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是 . 二、单选题 13．已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（    ）． A．1 B．2 C．4 D．8 16．如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）存在点P，使得； （2）存在点P，使得平面； （3）的面积越来越小； （4）四面体的体积不变. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17．已知长方体，，. (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小. 18．如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 19．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 20．如图，点O为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，.    (1)求正四棱锥的体积； (2)设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE与平面PQC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 空间向量与立体几何（练习） 一、填空题 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【解析】空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 故答案为：. 2．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先求出平面ABC与平面xOy的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 平面xOy的一个法向量为， 所以， 所以平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为. 故答案为： 3．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点面距的向量表示公式进行计算即可. 【解析】根据题意知， 点到底面的距离为. 故答案为：. 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线. 【解析】由； 由. 综上：且. 故答案为：. 5．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合空间向量的基本定理，得到在平面内存在一点，使得，得到，即可求解. 【解析】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 6．四棱锥中，，，则这个四棱锥的高是 . 【答案】 【分析】计算出点到平面的距离即可，借助空间向量中点到面的距离公式即可得. 【解析】设平面的法向量为，则有，即， 令，则，则， 则. 故答案为：. 7．如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点.则 . 【答案】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可求得结果. 【解析】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， . 故答案为：. 8．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再求出正四面体的高即可. 【解析】由点满足，其中，得点在平面内， 因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为， 则为正的中心，， 所以的最小值为. 故答案为：    9．如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 【答案】/ 【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解. 【解析】设，，，则， ， ， 由题意可知，、、共面，设， 即， 所以，，解得. 故答案为：. 10．若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值. 【解析】设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值， 如图建系，不妨设，，，中点， 可知，，， ，由可知， 消参可得，即点轨迹为， 点的轨迹是为圆心，半径为的圆. 所以，即． 故答案为： 11．在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点 . 【答案】（或C或边上的任意一点） 【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可. 【解析】解：因为点P满足，其中，且， 所以点三点共面， 因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心， 所以, 连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面， 故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点） 故答案为：（或C或边上的任意一点）    【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题. 12．如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是 . 【答案】 【分析】通过题意可知当E,F分别是AB, 上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，利用两点间距离计算即可求出. 【解析】如图建立空间直角坐标系： 设， 则， 点P到F的距离等于点P到平面的距离， ，整理得P点轨迹方程：， 所以P到平面的距离，, 所以，此时P与F共线垂直, 又 当E,F分别是AB, 上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值， 此时，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题. 二、单选题 13．已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，解出即可. 【解析】因为三向量共面，设， 所以，即，解得， 故选：C. 14．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解. 【解析】由题意可知，，， 所以. 故选：D. 15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（    ）． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解析】由图像可知，， 则． 因为棱长为1，，所以， 所以， 故集合中的元素个数为1． 故选：A. 16．如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）存在点P，使得； （2）存在点P，使得平面； （3）的面积越来越小； （4）四面体的体积不变. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设正方体棱长为，求出，由解得，确定（1）正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断（4），以为轴建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故（2）不正确；设，，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律判断（3）正确. 【解析】设正方体棱长为， 由平面平面得，同理， 所以， 由得，存在使得，（1）正确， 正方体中，平面，所以到平面的距离不变， 即到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，（4）正确; 以为轴建立空间直角坐标系，如下图，    正方体棱长为2，则， ，，所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故（2）错误； 设， 所以 设到直线的距离为，则 由二次函数性质知时，递减，所以递减，又不变， 所以的面积为递减，（3）正确， 综上：（1）（3）（4）正确 故选：D. 【点睛】方法点睛：立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点到直线的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了. 三、解答题 17．已知长方体，，. (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再求法向量的夹角表示二面角的大小； （2）用直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值表示线面角的正弦值，进而表示线面角的大小. 【解析】（1）以D为原点，分别为x，y，z轴建系如图， ，，， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即 取，则， 即 显然平面的一个法向量为 则 所以二面角的大小为. （2） 则 记直线与平面所成角为 则 所以. 18．如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用公式，即可求解； （2）首先分别求平面和平面的法向量，再利用二面角的向量法，即可求解. 【解析】（1） 以点为原点，以向量分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设， ，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则,所以, 异面直线与所成的角为； （2），，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则，， ， 二面角的正切值是． 19．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）当时可得点D、E分别为BC、的中点，连接DE，可证得四边形是平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解析】（1）证明：当时，， 即点D、E分别为BC、的中点. 在直三棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形， 如图，连接DE. 则，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以∥平面. （2）解：平面ABC，又， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则点，，，，， 所以，，，， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又平面ADC的法向量为， 因为平面与平面ACD的夹角为， 所以 即，得， 解得或. 又因为，所以. 20．如图，点O为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，.    (1)求正四棱锥的体积； (2)设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE与平面PQC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求棱锥的体积即可； （2）以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面PQC的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【解析】（1）由已知可得，， 故底面正方形ABCD的边长，所以正四棱锥的 体积为； （2）以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 易得、、、、. 设平面PQC的一个法向量为， 则，所以. 又，， 即，解得， 可取，依题意可得， 设，则，则有， 故，故，从而， 设直线BE和平面PQC所成角为， 则， 因为，所以， 故直线BE和平面PQC所成角的大小为.      21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可. 【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 所以平面面夹角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 空间向量与立体几何（讲义） 一、空间向量及其线性运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底. 二、空间向量的数量积与坐标表示 1.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量. (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 温馨提示： 1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. 2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点. 三、法向量的求解与空间向量的应用 （1）求平面的法向量： 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 空间位置关系的向量表示小结： 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 四、空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 五、空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 方法归纳： 一、空间向量的线性运算 例1　四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 答案 (1)， (2)证明见解析 分析 （1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 解析 （1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 方法归纳：　用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 二、空间向量基本定理及其应用 例2　已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：    (1)四点共面； (2)； 答案 (1)证明见解析 (2)证明见解析 分析 （1）根据共面向量的基本定理，由可得是共面向量，又因为有公共点A，从而可得证； （2）结合图形，利用向量的线性运算证明即可. 解析 （1）因为， 由共面向量的基本定理，可得是共面向量， 又因为有公共点A，所以四点共面． （2）因为 , 则 , 所以 . 三、空间向量数量积及其应用 例3　如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 答案 (1) (2)证明见解析 (3) 分析 （1）设，，，则可得，，即可求出； （2）用表示，根据数量积的运算律及定义求出，即可得证； （3）利用向量计算可得，，即可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值. 解析 （1）设，，， 则，． ，， 则； （2）因为 所以 . 所以，即. （3），， ， ，， ， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法归纳：　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 四、向量法证明平行、垂直 例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD. 证明　依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)． (1)＝(0,1,1)， ＝(2,0,0)， 故·＝0， 所以BE⊥DC. (2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD， AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 所以＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量， 而·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0， 所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)由(2)知平面PAD的法向量＝(1,0,0)， ＝(0,2，－2)， ＝(2,0,0)， 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量． 且n·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0， 所以n⊥. 所以平面PAD⊥平面PCD. 方法归纳：　(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 五、异面直线所成的角 例5　已知平行六面体的底面是边长为1的正方形，，. (1)求对角线的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 答案 (1) (2) 分析 （1）方法一：求出、，对两边平方化简计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，再求即可； （2）方法一： 设直线与所成角为，利用计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、，设直线与所成角为，利用计算可得答案. 解析 （1）方法一：因为， 又底面是正方形，，，， 所以， 所以 ； 方法二：    如图所示，以为原点，，分别为、轴正方向， 过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， ，所以； （2）方法一：因为， 所以， 又， 设直线与所成角为， 所以， 即直线与所成角的余弦值为； 方法二：    与（1）中的方法二，以为原点，，分别为、轴正方向， 过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与所成角为，所以， 即直线与所成角的余弦值为. 方法归纳： 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 六、直线与平面所成的角 例6　已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 答案 (1)证明见解析； (2). 分析 （1）利用翻折的特性，结合勾股定理逆定理证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 解析 （1）在中，， 翻折后，，则， 于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，显然直线两两垂直， 如图，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 由E是线段的中点，得，， 在平面中，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法归纳：　利用空间向量求线面角的解题步骤 七、平面与平面的夹角 例7 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 答案 (1)证明见解析 (2) 分析 （1）由面面垂直可得平面，则，由几何知识可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，可得平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 解析 （1）因为为矩形，则， 且平面平面，平面平面平面， 则平面，且平面，所以．    连接． 在和中，， 可知全等于．则， 且是的中点，则． 在中，， 而是的中点，则． 且，平面，所以平面． （2）以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，可得， 由（1）知，是平面的法向量， 且平面的法向量是． 可得． 所以二面角的正弦值为． 方法归纳：　利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 八、空间距离 例8 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 答案 (1) (2) 分析 （1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 解析 （1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 方法归纳： 点到直线的距离 (1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝ . (2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离. ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$