2.3：二次函数与一元二次方程、不等式（10大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

2.3：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一、解不含参数的一元二次不等式 · 考点二、解分式不等式和含绝对值不等式 · 考点三、解含有参数的一元二次不等式 · 考点四、由一元二次不等式的解确定参数 · 考点五、一元二次方程根的分布问题 · 考点六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 · 考点七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 · 考点八、一元二次不等式在某区间上有解问题 · 考点九、一元二次不等式的应用 · 考点十：一元二次不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)；(2)；(3)． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25高一上·上海）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1)(2)(3)(4) 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·上海）解关于的不等式：． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 9．（2024高三·全国·专题练习） （1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 11．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 12．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 18．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知命题p：“，使得”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 23．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、一元二次不等式的应用 25．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 26．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 题型十：一元二次不等式的综合问题 27．（24-25高一上·上海） （1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 28．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【高分演练】 一、单选题 29．（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 30．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 31．（24-25高一上·全国·随堂练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 为（    ）． A． B． C． D． 34．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 37．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 39．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题 40．（24-25高一上·全国）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 41．（24-25高一上·河南南阳）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 42．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 43．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 四、解答题 44．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 45．（24-25高一上·上海·随堂练习） （1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 46．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 47．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一、解不含参数的一元二次不等式 · 考点二、解分式不等式和含绝对值不等式 · 考点三、解含有参数的一元二次不等式 · 考点四、由一元二次不等式的解确定参数 · 考点五、一元二次方程根的分布问题 · 考点六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 · 考点七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 · 考点八、一元二次不等式在某区间上有解问题 · 考点九、一元二次不等式的应用 · 考点十：一元二次不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)．(2)．(3)或． 【分析】（1）化简不等式，求方程的判别式，作函数的图象，观察图象求解集； （2）原不等式可化为，作函数的图象，观察图象可得解集； （3）求方程的根，作函数的图象，观察图象可得解集. 【详解】（1）原不等式可化为． 因为方程的判别式， 所以函数的图象开口向上，与x轴无交点（如图所示）． 观察图象可得，原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为． （3）方程的两根是，． 函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和， 如图所示． 观察图象可得不等式的解集为或． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 3．（24-25高一上·上海）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为，即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为，即，∴．故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先把分式不等式转化为不等式组，求出两个不等式的解集，最后得出分式不等式解集； （2）根据一元二次函数判断分式不等式中分母大于0，得原不等式可化为，解出结果即可． 【详解】（1）（方法一）化为两个不等式组来解或 解得或，所以． ∴原不等式的解集是． （方法二）将分式不等式直接转化为整式不等式求解， ∵，解得， ∴原不等式的解集是． （2）因为，所以原不等式可化为， 即，所以原不等式的解集为． 5．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即公式：，得到或求解； （2）根据绝对值的几何意义即公式：，解得求解可得； （3）两边同乘变成整式型，两边平方得到解集，注意； （4）因为，，转成整式进而得到答案. 【详解】（1），则，解得，所以解集为. （2）因为，所以，即， 解出或， 或，即，无实数解， 综上，解集为. （3），，， 两边平方得到：， 即，解得或， ，所以解集为：. （4），，即， 解得，故解集为. 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1)(2)(3) (4)(5)(6)(7) (8)(9)(10) 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·上海）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 9．（2024高三·全国·专题练习） （1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析； 【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集. 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）对方程 ， 当时， 即时,不等式的解集为 当时， 即或时, 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时,不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为. 故选：C 11．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 12．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，根据基本不等式求得正确答案. 【详解】由于一元二次不等式的解集为， 所以，所以，所以， 当且仅当时等号成立.所以的最大值为.故选：B 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 14．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 15．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”， 显然不满足题意， 所以，解得， 则“不等式在上恒成立”等价于， 故要找的必要不充分条件需要被推出. 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 17．（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 18．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知命题p：“，使得”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】命题p是假命题，则命题为真命题，再利用一元二次方程的判别式求出实数a的取值范围即可. 【详解】若命题p：“，使得”为假， 则命题：“，使得”为真. 所以判别式，解得. 故选：B 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 20．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得命题“”为真命题，根据二次函数的性质只需即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为函数在上单调递减， 所以只需，解得， 即的取值范围为. 故选：A 21．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 23．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 24．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 题型九、一元二次不等式的应用 25．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1).(2). 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 26．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100(2)存在， 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 题型十：一元二次不等式的综合问题 27．（24-25高一上·上海） （1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【分析】（1）①根据判别式即可列不等式求解， ②由二次函数的性质，结合分类讨论即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【详解】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 28．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【专项训练】 一、单选题 29．（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 30．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 31．（24-25高一上·全国·随堂练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得对任意恒成立，分离参数得，即，求出的最大值，继而即可求解. 【详解】不等式的解集为， 即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，即， ， . 故选：. 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 33．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 34．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 35．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题 36．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 37．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】由条件可得为方程的两根，且，结合根与系数关系可得的关系，再逐项判断各选项. 【详解】因为不等式.的解集为， 所以为方程的两根，且， 所以，， 所以，，， 因为，所以A正确； 因为，，， 所以不等式可化为，B错误； 因为，，， 所以，C正确； 因为，，， 所以不等式可化为， 解得，，所以D错误； 故选：AC. 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 39．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 三、填空题 40．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数与二次不等式间的关系，结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为：. 41．（24-25高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意分析可得，结合充分、必要条件可得结果. 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 42．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集确定方程的根，利用根与系数的关键求解出参数，代入分式不等式，将分式不等式转化为一元二次不等式求解． 【详解】根据题意可知，的两根分别为和， 则，， 解得，， 所以， 而可化为， 解得， 故答案为：，． 43．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 四、解答题 44．（2025高三·全国·专题练习）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）利用绝对值不等式的解法求解即可； （4）（5）利用分式不等式的解法求解即可； （6）（7）利用一元二次不等式的解法求解即可； （8）（9）利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （2）由可得，解得， 故原不等式的解集为. （3）由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （4）等价于，解得， 故原不等式的解集为. （5）由可得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. （6）由，得，解得， 故不等式的解集为. （7）由，得，即， 解得或，故不等式的解集为. （8）由，得，即，解得， 故不等式的解集为. （9）由，得，解得或， 故不等式的解集为. 45．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围； （2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集． 【详解】（1）关于的二次方程无实数解， 函数的图象与轴无交点， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）令， 当时，， 解得：， 所以不等式的解集是． 46．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 47．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 48．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$