2.2：基本不等式（10大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

2.2：基本不等式 【考点梳理】 · 考点一、利用基本不等式比较大小 · 考点二、利用基本不等式求积最大值 · 考点三、利用基本不等式求和最小值 · 考点四：二次或二次商式的最值 · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式‘1’的妙用 · 考点七：对勾函数类型求最值 · 考点八：基本不等式恒成立问题 · 考点九：基本不等式在实际问题中的应用 · 考点十、用基本不等式证明不等式 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（20-21高一上·江苏镇江）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（20-21高一上·安徽阜阳）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（24-25高一上·全国）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 6．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 8．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 题型五：条件等式求最值 10．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 11．（21-22高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四：二次或二次商式的最值 13．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 14．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（23-24高一下·陕西榆林）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 17．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型七：对勾函数类型求最值 19．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 20．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 21．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 题型八：基本不等式恒成立问题 22．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 26．（23-24高一上·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 题型十、用基本不等式证明不等式 27．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 28．（24-25高一上·上海） （1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【高分演练】 一、单选题 29．（24-25高一上·全国）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 31．（23-24高二下·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 33．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 34．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 二、多选题 35．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 37．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 38．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 三、填空题 39．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，且，则xy的最大值为 ． 40．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 41．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    42．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 43．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 四、解答题 44．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 45．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 46．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 47．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 48．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2：基本不等式 【考点梳理】 · 考点一、利用基本不等式比较大小 · 考点二、利用基本不等式求积最大值 · 考点三、利用基本不等式求和最小值 · 考点四：二次或二次商式的最值 · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式‘1’的妙用 · 考点七：对勾函数类型求最值 · 考点八：基本不等式恒成立问题 · 考点九：基本不等式在实际问题中的应用 · 考点十、用基本不等式证明不等式 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（20-21高一上·江苏镇江）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，，所以，， ∴. 故选：B 2．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令可知④不正确．故恒成立的个数为个. 故选：C. 3．（20-21高一上·安徽阜阳）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为，所以，，又根据基本不等式可得，， 所以.故选：C. 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（24-25高一上·全国）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为所以即 所以当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 6．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 8．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 9．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 题型五：条件等式求最值 10．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 11．（21-22高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 12．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 题型四：二次或二次商式的最值 13．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 14．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由已知可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为为正实数，所以， 可得，即， 所以，即， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（23-24高一下·陕西榆林）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 17．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 题型七：对勾函数类型求最值 19．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 20．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 21．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 题型八：基本不等式恒成立问题 22．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 23．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 24．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 26．（23-24高一上·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】方案二更合理，理由见解析 【分析】分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适. 题型十、用基本不等式证明不等式 27．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 28．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 【高分演练】 一、单选题 29．（24-25高一上·全国）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 31．（23-24高二下·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式计算得出，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值． 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 32．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 33．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 34．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 二、多选题 35．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为同号，则， 且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：例如，则，故C错误； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：BD. 36．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 【答案】BCD 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 37．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 38．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即可判断C；利用万能“”法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，故A正确； 对于B，由都是正数，且，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是3，故B正确； 对于C，若， 则， 所以，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是，故C错误； 对于D，令，则， 又，则， 化简得， 所以，解得， 所以的最大值是4，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题 39．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据题意结合不等式运算求解即可. 【详解】因为，，且， 可得，当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为8． 故答案为：8. 40．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 41．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 42．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 43．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 44．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）由题意得（），再利用基本不等式可求得其最小值； （2）由题意得，则，再利用基本不等式可求得其最大值； （3）由题意得，则原式化为，再利用基本不等式可求得其最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最大值． （3）解  ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 45．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 46．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 47．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 【答案】(1) (2)，最低费用为元 【分析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总运费即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）运货卡车行驶的时间为， 则有 ，， 即. （2）由（1）得， 当且仅当，即时取等号， 即当时，这次行车总费用最低为元. 48．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）. 【分析】对于（1），用配凑法及基本不等式的变形即可求解最大值；对于（2）可以先用换元的方法进行化简，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；对于（3）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式即可；对于（4）将变成，然后用两次基本不等式求解即可求解最大值. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12. （2）, 令,则 则可化为 , 当且仅当,即时等号成立, 的最小值为. （3）， 即， 解得或(舍), 当且仅当且， 即时等号武立， 的最小值为6. （4）正数满足， , 即, , ， ， 当且仅当且, 即时等号成立, 故的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$