九上数学第一次月考卷-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

2024-2025学年九上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程属一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个相等的实数根或两个不相等的实数根 4．如图，，分别是的切线，，分别为切点，点是上一点，且，则为（    ）    A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（    ） A． B． C．25 D．20 7．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 8．如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若方程 是关于的一元二次方程，则 ． 10．若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ． 11．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 12．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为，则可列方程 ． 13．如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ． 14．若关于的方程两个根是，，则在实数范围内分解因式 ． 15．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 16．如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两根互为倒数，求m的值， 20．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 21．国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 22．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 23．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 24．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； (2)在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 25．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程属一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义即可求解．解题的关键是熟知一元二次方程的定义． 【详解】解：A、属于二元二次方程，故错误； B、属于一元二次方程，正确； C、属于二元一次方程，故错误； D、属于分式方程，故错误； 故选：B． 2．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个相等的实数根或两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．如图，，分别是的切线，，分别为切点，点是上一点，且，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【详解】解：连接，；   ， ， ． 故选：B 5．《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门框高为x尺， ∴门宽为尺． 根据题意得：． 故选：B． 6．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（    ） A． B． C．25 D．20 【答案】C 【分析】根据扇形的半径为5，求得代入公式计算即可． 本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得扇形的半径为5，， 故扇形的面积为， 故选C． 7．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 8．如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值． 【详解】解：连接，    ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点， 当过圆心时，最大， ，， ， 的半径为4， 的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若方程 是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和一元一次不等式的性质，即可完成求解．根据一元二次方程的定义分析，即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程 ∴ ∴ 故答案为：． 10．若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解；理解一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 11．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为： ． 12．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 13．如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别切于A、B． ∴ ∵过点C的切线分别交于点E、F． ∴． ∴的周长 ． 故答案为： 14．若关于的方程两个根是，，则在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】此题考查的是利用一元二次方程的根进行因式分解，掌握因式分解法和一元二次方程根的关系是解题关键．根据因式分解法和一元二次方程根的关系即可得出结论． 【详解】解：的方程两个根是，， 故因式分解为：． 故答案为：． 15．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先推出点在以中点为圆心，为直径的圆周上，延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点，根据轴对称性质和点与圆周上的点的最短距离确定出的最小值是，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】 解：点是正方形内部的一个动点，且满足，，， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆周上， 延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点， 则，，四边形和四边形都是矩形， ，，， 的最小值是， 在中， ，， 由勾股定理，得，的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题正方形的性质，勾股定理，矩形的判定及性质，点与圆的位置关系，能够发现点的运动轨迹，掌握点与圆的最短距离是解题的关键． 16．如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 【答案】2或或4 【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，而是定长， ∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图， ∵， ∴于点E， ∴； 当点F在边上时，有两种情况， 当E、F在如图的的位置时，作， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 当E、F在如图的的位置时（与A重合）， ∴； 若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在， 综上，的长为1或或4． 故答案为：2或或4． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两根互为倒数，求m的值， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）先由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， 无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是原方程的两根， ， 原方程的两根互为倒数， ， 解得：． 20．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 【答案】(1)详见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点的坐标即可； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． 【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为； （2）， 点经过的路径的长为． 21．国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 【答案】水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 22．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 24．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； (2)在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，根据矩形的性质可得点O即为圆心；连接延长交于点N，连接和，交于点Q，可证明，有，结合，直径所对的圆周角为直角即可知点Q即为所求； 取格点M，连接，分别与交于点G和点K，则，，根据垂径定理知，，可证，有，即可判定；连接，延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，进一步证得，则，则，结合三线合一即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，，根据矩形的性质可得点O即为圆心；    连接延长交于点N，连接和，交于点Q， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q即为所求； （2）解：取个点M，连接，分别与交于点G和点K，如图， 则，， 根据垂径定理知，， ∴， ∴， ∴，    连接，延长交于点H，连接，如图， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 则点H为的中点． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到所需的格点，再结合三角形和圆的性质求解． 25．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$