学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（扬州专用，测试范围：苏科版第1章～第3章）

学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 7 8 C B C B C C D B 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.137 10.1 11.80 12.x=0 13.> 14.13 15.16.7% 16.12 17 3 18.4 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本题8分) 【详解】(1)解：xx-2)=4x-2 xx-2)-4x-2)=0 (x-2(x-4=0 .x-2=0或x-4=0 x1=2,x2=4. …4分 (2)解：3x2+5(2x+1=0 3x2+10x+5=0 :a=3,b=10,c=5, ∴.△=b2-4ac=102-4×3×5=100-60=40, :x=-10±40-5±V0 6 3 x=5+0 -5-V10 …8分 3 20.(本题8分) 【详解】(1)解：观察统计图可知，捐款40元的人数最多，为18人，所以众数是40元， :一共有50个数据，将捐款金额从小到大排列后，第25、26个数据的平均数就是中位数， 从图中可知，捐款20元的有7人，捐款30元的有15人， 那么前7+15=22人捐款金额小于40元，第23到40人捐款40元， 1/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第25个和第26个数据都是40元，中位数为40+40)÷2=40元， 故：这组数据的众数是40元，中位数是40元；…2分 (2)捐款总数为20×7+30×15+40×18+100×10 =140+450+720+1000 =2310 平均数为2310÷50=46.2元，…5分 (3)已知该校共有学生1600名，该班同学捐款平均数为46.2元， 则中学捐款总数大约为1600×46.2=73920元；…8分 21.(本题8分) 【详解】(1)解：a=1,b=-2(m+1),c=m2+2, :△=b2-4ac=[-2(m+1]-4(m2+2=8m-4, :方程x2-2(m+1)x+m2+2=0总有两个实数根， .△=8m-420, .m≥ …3分 (2)解：：方程的一个根为3， .9-6(m+1+m2+2=0, 解得m1=1,m2=5, 当m=1时，原方程化为x2-4x+3=0,解得x=1,x2=3, 另一根为1； 当m=5时，原方程化为x2-12x+27=0,解得x=9,x2=3, 另一根为9； .m的值为1时，该方程的另一根为1，m的值为5时，该方程的另一根为9.…8分 22.(本题10分) 【详解】(1)证明：过O作OM⊥AB于M,连接OA、OB, 2/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 0A=0B,OE=OF, .AM=BM,EM=FM, ∴.AM-EM=BM-FM, AE=BF;…5分 (2)证明：：0M⊥AB,0A=0B,OE=OF, .∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM, .∠AOM-∠EOM=∠B0M-∠FOM, .∠A0C=∠B0D, AC=BD.…l0分 23.(本题8分) 【详解】(1)解：设日平均增长率为x,由题意得：200(1+x)2=338, 解得：x1=0.3,x2=-23（舍)， 答：日平均增长率为30%；…4分 (2)解：设每个玩偶降价y元，由题意得：（50-y-30)(320+5y)=5940, 解得：y,=2,y2=-46（舍， 答：每个玩偶降价2元.……8分 24.(本题10分) 【详解】(1)解：如图，点O即为所求； 3/10 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 3分 (2)解：如图，点E即为所求； …6分 (3)解：如图，PQ即为所求。 …10分 25.(本题10分) 【详解】(1)解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(78+2-2x)米， 依题意得：x(78+2-2x)=750, 整理得：x2-40x+375=0, 解得：x1=15,x2=25, 当x=15时，78+2-2x=78+2-2×15=50>45,不符合题意，舍去； 当x=25时，78+2-2x=78+2-2×25=30<45,符合题意. 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 答：鸡场的长为30米，宽为25米；…5分 (2)解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为78+2-2y)米， 依题意得：y78+2-2y)=900, 整理得：y2-40y+450=0, :△=(-40)2-4×1×450=-200<0， 该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场.…10分 26.(本题10分) 【详解】(1)证明：如图， D A B :AC平分∠DAB,OA=OC, .∠1=∠2，∠1=∠3， ∠2=∠3， OC∥AD, ∴.∠ADC+∠OCD=180°， :AD⊥CD, .∠ADC=90°， .∠0CD=180°-∠ADC=180°-90°=90°， ..OC L CD :0C为⊙O的半径， CD为⊙O的切线；…3分 (2)解：如图，过点O作OH⊥AD与H, 5/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3 B :AH HE, .OC⊥CD,HD⊥CD,OH⊥HD, .L0HD=LADC=∠0CD=90°， .四边形OCDH为矩形， :AB=10,DC=4, .0H=DC=4,HD=0C=5, 在Rt△AOH中，0A=5,OH=4, AH=V0A2-0H2=52-42=3, .AD=AH+HD=3+5=8, 在Rt△ADC中，CD=4,AD=8, AC=VCD2+AD2=V42+82=4V5, AC的长为4√5；…6分 (3)解：如图，连接OE, 3 A B :E是弧AC的中点， 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AE CE, .Z2=ZECA, :∠2=∠1， ∠1=LECA, EC∥OA, 又：0C∥AE, :.四边形OAEC为平行四边形， 0A=0C, :.四边形OAEC为菱形， ..CE=AE=OC=0E=0A=5,S.OCE =SOAE, :.△OCE和△AOE为等边三角形， ∠A0E=∠C0E=∠0CE=60°， ∴S期彩OCE=S期形O4E, S所影=S.CDE, LDC0=90°， .∠DCE=30°， 在Rt DCE中，CE=5, 2 SACDE -DECD2 222 8 :S阴影=S,cnE=g 253，…0分 27.(本题12分) 【详解】解：(1)由于②34=52+32， 所以②是完美数， 故答案为：②；…2分 (2)由y=x2-6x+13=(x-32+4=(x-32+22, y=x2-6x+13可配方成y=(x-m)2+n2, 7/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m=3,n=2, .m”=32=9, 故答案为：9；…5分 (3)k=16,理由如下： S=a2+4ab+5b2-8b+k=(a2+4ab+4b2)+(b2-8b+k)=(a+2b)2+(b2-8b+k), 要使S为“完美数”， 则b2-8b+k需为完全平方式， 放&=(=16 此时S=(a+2b)2+(b-4)2,符合“完美数”定义， k=16;…8分 (4) x-y2=1, .x-1=y2≥0， x≥1， x2+2y2-4x+2028 =x2+2(x-1)-4x+2028 =x2-2x+2026 =x2-2x+1+2025 =(x-1)2+2025≥2025， 当x=1时，x2+2y2-4x+2028的最小值为2025. …12分 28.(本题12分) 【详解】(1)解：：PA是⊙M的切线，A为切点， PA⊥AM, .∠PAM=90 ∠APM=30°，AM=2, .CM=4, .PM AM =6, :B是折线段PMA的中点， 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PB-PM+M)=3.…3分 (2)证明：如图3，在PB上截取PQ=AM,连接CP,CQ,CA和CM. M C是PMA的中点， .CP=CA CP=CA,∠A=∠P, 在△CPQ和CAM中， ,CP=CA,PQ=AM,∠P=∠A, ACPQ≌ACAM, ∴.CQ=CM, CB⊥QM, ..OB MB, PB=PQ+QB=BM+MA;…7分 (3)解：：ABC为等边三角形， .∠ABC=60°， :∠ABD=15°， .∠CBE=∠ABC-∠ABD=60°-15°=45°， CE⊥BD, .BEC为等腰直角三角形， :BE =CE=2, :BC=VBE2+CE2=V22+22=2√2， ·AB=BC=2√2， 由(2)同理可得，BE=ED+AD, .△ABD的周长=BD+AD+AB BE+DE+AD+AB 9/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =2+2+2√2 =4+2√2…12分 10/10 2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1~3章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：（1）含有一个未知数，含未知数的项的最高次数是2；（2）整式方程． 根据一元二次方程的定义求解，即可解题． 【详解】解：A. ，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，当时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 4．如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图，连接，根据直径所对圆周角是直角得到，再根据三角形内角和得到的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对圆周角相等）． 故选：B． 5．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 6．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 7．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 8．如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基础知识，弦心距的计算，线段最大值的计算，掌握直径所对圆周角是直角，弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键． 如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是 ． 【答案】137 【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案． 【详解】解：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140．其中位于中间位置的数为137， 所以该组数据的中位数是137， 故答案为：137． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 11．如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 【答案】 【分析】连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 12．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， ∴被漏掉的一个根是， 故答案为：． 13．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据方差的意义，通过观察甲、乙标枪落点的离散程度来判断方差大小．本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差反映数据离散程度，离散程度越大方差越大是解题的关键． 【详解】解：∵ 方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中， ∴． 故答案为： ． 14．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】此题重点考查三角形的外接圆的定义、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键．设中，，，，则，根据题意可知当为直径时，直径最短． 【详解】解：如图，，，， 由勾股定理得， ∵圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 则这个圆形纸片的最小直径为， 故答案为：13． 15．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设平均每月降价的百分率为，根据经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 故答案为： 16．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 17．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 18．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）利用因式分解解方程，即可得到答案； （2）先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： ， ， ， ． 20．（本题8分）某中学（一）班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． (1)这组数据的众数是______，中位数是______． (2)求这名同学捐款的平均数； (3)该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 【答案】(1)元，元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(如果数据个数是奇数)，或者最中间两个数的平均数(如果数据个数是偶数)； （2）根据加权平均数计算方法即可计算名同学捐款的平均数； （3）用样本平均数估计可以看做总体的平均数，用名同学捐款的平均数乘以学生的总人数，即可得这个中学的捐款总钱数； 【详解】（1）解：观察统计图可知，捐款元的人数最多，为人，所以众数是元， ∵一共有个数据，将捐款金额从小到大排列后，第个数据的平均数就是中位数， 从图中可知，捐款元的有人，捐款元的有人， 那么前人捐款金额小于元，第到人捐款元， ∴第个和第个数据都是元，中位数为元， 故：这组数据的众数是元，中位数是元； （2）捐款总数为 平均数为元， （3）已知该校共有学生名，该班同学捐款平均数为元， 则中学捐款总数大约为元； 21．（本题8分）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) (2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）先计算出，根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得， 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为1； 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 22．（本题10分）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 23．（本题8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价元． 24．（本题10分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 25．（本题10分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为30米，宽为25米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； （2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 26．（本题10分）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)． 【分析】（）平分，，所以，，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理即可求证； （）如图，过点作与，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （）如图，连接，是弧的中点，则，先证明四边形为菱形，得到， ，和为等边三角形，从而得到，，在中，可计算出 ，，所以，然后利用即可得出结论. 【详解】（1）证明：如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点作与， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为； （3）解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，扇形的面积等知识点，掌握知识点的应用，根据题意作适当的辅助线是解题的关键． 27．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 28．（本题12分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取，连接，，和，可证明 得到进一步则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1~3章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 4．如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 第4题 第5题 5．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是 ． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 11．如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 第11题 第12题 12．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是 ． 13．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 14．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 15．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 16．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 第16题 第17题 第18题 17．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ． 18．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 20．（本题8分）某中学（一）班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． (1)这组数据的众数是______，中位数是______． (2)求这名同学捐款的平均数； (3)该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 21．（本题8分）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 22．（本题10分）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 23．（本题8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24．（本题10分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 25．（本题10分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 26．（本题10分）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 27．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 28．（本题12分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级上学期期中考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 -=。-。=。。-==。。=。。。 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1[/] 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][CD] 5[A][B][CI[D] 2A][B][CD] 6 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 4[A][B][CD] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 10. 11. 12. 13 14 15 16. 17. 18 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步聚。 19.(本题8分)用适当的方法解下列方程： (1)x(x-2)=4(x-2): (2)3x2+5(2x+1)=0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (1) (2) (3) 21.(8分) (1) (2) 22.(10分) (1) E B (2) 请在各题目的答题区域内作趣学熏色魅é返在限定区域的答案无效！ :※Y紫号习影凸岛盖蒂面奔习酯号阴目骚号尹巢 (E) () E园 园 园 2 (I) (50I)忆 (7) (I) (g8)7 1※兰嵩易阴海☒其的到狂#安盖用避‘易身海☒酷易阴目酷号安典 ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) (1) 2m (2) 26.(10分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域物详第圆颜)边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) （1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答数遛锦照医知共颀陬定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) PA o. 图 图2 图3 图4 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，数凿笔颤彩区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1~3章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 4．如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 第4题 第5题 5．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是 ． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 11．如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 第11题 第12题 12．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是 ． 13．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 14．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 15．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 16．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 第16题 第17题 第18题 17．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ． 18．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 20．（本题8分）某中学（一）班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． (1)这组数据的众数是______，中位数是______． (2)求这名同学捐款的平均数； (3)该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 21．（本题8分）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 22．（本题10分）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 23．（本题8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24．（本题10分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 25．（本题10分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 26．（本题10分）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 27．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 28．（本题12分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级上学期期中考试 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填 涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9. ___________ 1 0 ． _________ 11 ． __________ 12 ． ____________ 13 ． __________ 1 4 ． _________ 1 5 ． ___ ___ __ 1 6 ． __________ 1 7 ． _____________ 1 8 ． __________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 9 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19． （本题 8 分） 用适当的方法解下列方程： (1) ； (2) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） （1） 、 ； （ 2） （3） 21 ． （ 8 分） （1） （2） 22 ．（ 10 分） (1) (2) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 8 分） （1） （2） 2 4 ． （ 10 分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 10 分） （1） （2） 26.（10分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ．（ 12 分） （1 ） （2） （3） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28.（12分） （1） ； （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $