第2章 圆 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第2章 圆 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2．的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 3．如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 5．如图，是的直径，C，D是上两点，且满足，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 7．小明学习圆以后，进行以下操作：如图，线段的长为3，分别以点，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为 度．    10．如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ． 11．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 12．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °． 13．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 14．如图，在中，以为直径的，交的延长线于点D，交于点E，连接OD，．若的半径为1，，则用含的代数式表示的长度为 ．    15．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 16．如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，在的边上取一点，过点作的切线，切点记为．若，且满足条件的点恰有3个，则的取值应满足的条件为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，点，，，在在中，若，求证：．    18．如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于点的中心对称图形；并直接写出点的坐标． (2)画出绕原点逆时针旋转的；并求出在上述旋转过程中点到点经过的路径长． 19．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 20．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 21．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 22．如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 23．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)如图1，是半圆的直径，等边的边、与半圆分别交于点、点，请确定半圆所在圆的圆心； (2)如图2，是半圆的直径，，点、点是半圆上的两个点，连接，在上找一点，使得为等腰三角形． 24．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 25．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”． (1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ． (2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围． (3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 2．的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与点A到圆心O的距离大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，点A到圆心O的距离， ∴， ∴点A在外． 故选：C 3．如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 4．如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 【详解】解：依题意A，B；A，；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：C． 5．如图，是的直径，C，D是上两点，且满足，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角为直角、三角形内角和定理和平行线的性质，根据题意得，结合三角形内角和定理得，由平行线的性质得即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 7．小明学习圆以后，进行以下操作：如图，线段的长为3，分别以点，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、等边三角形的性质与判定、弧长的计算，熟练掌握等边三角形的性质、弧长公式是解答本题的关键．由作图可得，，则为等边三角形，可得．利用弧长公式求出和的长，进而可得答案． 【详解】解：由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，的长为， ∴阴影部分的周长为． 故选：B． 8．平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答． 【详解】解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图， 则∠ADB=∠ACB， ∵∠ADB是△ADC1的外角， ∴∠ADB＞∠AC1B， ∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角， 过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴， ∴四边形MNOC为矩形，   ∴MC=ON，OC=MN， ∵，，，t＞0， ∴AB=4，OC=t，OA=1， ∴AN=AB=2， ∴MC=ON=OA+AN=3， 在Rt△AMN中，MA=MC =3， 由勾股定理得：， ∴OC=MN=，即t=， 故选：C． 【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为 度．    【答案】54 【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶54． 10．如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连结，根据垂径定理求得，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连结， 是的直径，， ， ， 即的半径为5． 故答案为：5． 11．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 12．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °． 【答案】27 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可． 【详解】∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 13．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积．利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．如图，在中，以为直径的，交的延长线于点D，交于点E，连接OD，．若的半径为1，，则用含的代数式表示的长度为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角的相关性质（直径所对的圆周角是直角）、三角形内角和定理以及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍， 连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和定理得到，最后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵是直径， ∴ （直径所对的圆周角是直角）， 又∵， ∴，（三角形内角和定理）， ∴（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）， ∴的长 故答案为：． 15．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 16．如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，在的边上取一点，过点作的切线，切点记为．若，且满足条件的点恰有3个，则的取值应满足的条件为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考了圆的切线性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．第一步，根据题目，我们知道中，，，，．第二步，分情况讨论点的情况． 【详解】解：中，，，， ． 作于， ， ①当时， 存在2个、上各一个） ②当时， 存在3个， ； ③当， 存在4个， ④当时， 存在3个， ； ⑤当时， 存在2个， ⑥当时， 存在1个， ⑦当时， 存在0个， 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】解： ， ， ， ． 18．如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于点的中心对称图形；并直接写出点的坐标． (2)画出绕原点逆时针旋转的；并求出在上述旋转过程中点到点经过的路径长． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解，点到点经过的路径长 【分析】（1）中心对称，指的是绕中心点旋转后与原图形重合，由此即可求解； （2）绕原点逆时针旋转，根据旋转的性质可知点到点经过的路径是扇形，即可求解． 【详解】（1）解：的顶点坐标分别为、、，关于点的中心对称，得， ∴，，，如图所示， ∴即为所求图形，且． （2）解：绕原点逆时针旋转的，如图所示， ∴即为所求图形， ∵点到点经过的路径是以点为圆心，以为半径的圆（扇形），如图所示， ∴，， ∴， ∴点到点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键． 19．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 20．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 21．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论； 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 22．如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先过点作于点，易证得，即可得是的切线； （2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案． 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 与相切于点， ， 平分，是半径， ， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， 在中，， ， ． 23．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)如图1，是半圆的直径，等边的边、与半圆分别交于点、点，请确定半圆所在圆的圆心； (2)如图2，是半圆的直径，，点、点是半圆上的两个点，连接，在上找一点，使得为等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）连接，交于点J，由直径所对的圆周角是易知、是等边三角形的高，根据“三线合一”可知连接并延长交于点O，点O即为所求； （2）延长，交于点E，根据可知是等边三角形，连接，交于点J，连接交于点F，由（1）易证，点F即为所求． 【详解】（1）如图1所示，连接，交于点J，连接，延长交于点O，点O即为所求； （2）如图2所示，延长，交于点E，连接，交于点J，连接交于点F，点F即为所求． 【点睛】本题是无刻度直尺作图，考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，解方程等知识点，灵活运用性质解题及方程思想的运用是解题的关键． （1）过点作于点，由题意可知，由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）连接，与交于点，过点作于点，证明，得出，即的中点为矩形的中心，由勾股定理可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，由题意可知， ∵四边形是矩形， 是矩形，    （2）连接，与交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即的中点为矩形的中心， 以为直径的圆与相切， ∴圆的半径， 则， 在中，由（1）得 由勾股定理可得：， 解之得． 综上：或；    （3）由（2）可知，经过矩形的中心， 当时，点到的距离有最大值， ∵， ∴， ∴点到的最远距离为． 故答案为：．    25．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”． (1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ． (2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围． (3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键． （1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可； （2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是和时是临界点即可解答； （3）如图3：连接，则，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1: 因为关于的对称点是在上，所以是关于直线的“对称连接线段”， 因为和关于的对称点是和在外，所以不是关于直线的“对称连接线段”， 因为关于的对称点是在内，所以是关于直线的“对称连接线段”． 故答案为：． （2）解：如图2： 设直线交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等， 所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件， 过点P的对称点是和时是临界，此时k的值分别是1和． ∴或． （3）解：如图3： 连接，则， ∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是和的圆上运动， 设半径是的圆交y轴于点W， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$