专题01 垂径定理（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题01 垂径定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 3 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 6 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 2．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 3．如图，是的弦，点P在弦上，已知的半径为7，若，，则的长为 ． ∵，， 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 5.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 6.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 9.如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 10.“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 11.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 12.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 一、单选题 1．如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 3．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 4．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 二、填空题 6．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 7．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 8．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 9．用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为 ． 10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 三、解答题 11．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 12．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 13．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 14．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 16．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 17．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 18．在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 垂径定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 3 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 6 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求线段长问题 1．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 2．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 【答案】 【分析】该题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，连接，过点作，结合弦，证出四边形是矩形，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，得出，勾股定理求出，垂径定理得出． 【详解】解：连接，过点作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的长为8，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是的弦，点P在弦上，已知的半径为7，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点C，则，，设，则，根据勾股定理可得，建立方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则，， ∵，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 5.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 综上所述：和之间的距离为或． 6.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质： （1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 题型三、利用垂径定理求同心圆问题 7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 题型四、利用垂径定理解实际应用问题 9.如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 10.“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 11.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 12.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 一、单选题 1．如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． 2．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，因为位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论． 【详解】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； ②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； 综上，和的距离是或． 故选：C． 3．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接， 由题意得：，，， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：，（舍去）， 即米． 故选：C． 4．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 二、填空题 6．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 7．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 8．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 由垂径定理知，点E是的中点， 寸， 设半径为r寸，则寸 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：，     ， 即圆的直径为寸，即为1尺． 故答案为：1． 9．用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查垂径定理，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．假设圆心为O，连接，过点O作，设，得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：假设圆心为O，连接，过点O作，如图所示： 设，由题意，点F、O、G共线， ∵直尺宽， ∴， ∵过点O作， ∴， ∴即， 解得：， ∴， 故答案为：． 10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题 11．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 12．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 13．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 14．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 16．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 17．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】(1) (2)2米 (3)米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． （3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 18．在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图点即为所求； （2）解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$