专题04 等可能条件下的概率（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题04 等可能条件下的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、概率的意义 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．为了解—批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．反映空气主要成分的占比宜采用扇形统计图 B．环保部门为了解某泊湖水质情况，应采取全面调查的方式 C．彩民购买1张彩票，中奖．这个事件是不可能事件 D．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面向上” 2．A、B、C三个事件发生的概率分别为 ．对其中一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大”．该事件是 ．（选填“A、B或C”） 3．如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 类型二、判断概率的大小关系 【解惑】一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【融会贯通】 1．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 3．一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 类型三、根据概率公式计算概率 【解惑】如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，每个球除颜色外都相同，小明从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D．1 2．二十四节气是上古农耕文明的产物，它在我国传统农耕社会中占有极其重要的位置，它科学地揭示了天文气象变化的规律，将天文、农事、物候和民俗实现了巧妙的结合如图，随机转动指针一次，则指针落在夏至区域的概率是 ． 3．口袋里有3个红球和2个白球，球除颜色外完全相同．从中任意摸出1个球，那么摸出红球的可能性是 ，摸出白球的可能性是 ． 类型四、已知概率求数量 【解惑】一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 3．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 类型五、几何概率 【解惑】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 2．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 3．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    类型六、列举法求概率 【解惑】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．盒子里装有5张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是 ． 3．如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是 ． 类型七、列表法或树状图法求概率 【解惑】如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康，又给家庭增加不必要的开销．为此，数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料 根据统计结果绘制了如下统计表和统计图，利用统计表和统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均单价（元/瓶） 0 2 3 4 (1)这个班级有 名同学；扇形统计图中B所对应扇形的圆心角是 度． (2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，平均单价见表格），则该班同学每天用于饮品上的人均花费是 元； (3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到2名女生的概率是多少？ 【融会贯通】 1．2024年3月10日，享有“地球王国世界花园”的百里杜鹃景区正式进入花季．今年杜鹃花季从3月10日持续至4月底，吸引了许多国内外游客前来观赏．现对某校初中生就“2024中国百里杜鹃花季”的了解情况进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． (1)根据以上信息可知： ，补全条形统计图； (2)估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有 人； (3)“很了解”的4名学生中，有3名八年级学生和1名七年级学生，现从这4人中随机抽取两人去参加教育局举办的“2024中国百里杜鹃花季”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是多少？ 2．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小致喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小致从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是______． (2)小致先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小致两次抽取的卡片中有一张是书法社团C的概率． 3．巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果； (2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率． 类型八、游戏的公平性 【解惑】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【融会贯通】 1．为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 2．由于疫情爆发，小王家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．小王和爸爸用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数，爸爸出小区购买生活必需品；若差为正数，小王出小区购买生活必需品．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 3．张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 【解惑】如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【融会贯通】 1．如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 2．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 3．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 类型十、概率的其他应用 【解惑】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【融会贯通】 1．小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1 说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______； (2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率； (3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？ 3．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【一览众山小】 1．有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（    ） A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块） 2．若从下列图中任取一个图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，现将它们背面朝上洗匀，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为，摸到3号卡片的概率为，则与的大小关系是（   ）    A． B． C． D．无法确定 4．小明一家准备用假期的两天去游玩，并且每天都要去一个不同的地方，现有三个地方可供选择，分别是“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”，则小明一家这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”的概率为 ． 5．从一副扑克牌中挑出一张红桃、三张黑桃．把它们背面朝上洗匀放在桌上，随机从中抽取一张，记下花色后不放回，再从桌上剩下的扑克牌中随机抽取一张，两次抽到的扑克牌花色一样的概率是 ． 6．一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，1，3，随机摸取两个小球，则两个小球上的数字之和为非负数的概率为 ． 7．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，求恰好这个两位数是奇数的概率． 8．老子、孔子、墨子是春秋战国时期的三位思想家，李老师让两位同学采用抽卡片的方式介绍这三位思想家，现有3张正面分别写有“老子”“孔子”“墨子”的不透明的卡片，卡片除正面内容不同外，其余均相同．将3张卡片正面向下洗匀，第一位同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后正面向下放回，洗匀后第二位同学再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法求两位同学都介绍老子的概率． 9．某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题： 步数 频数 频率 8 a 15 0.3 12 b c 0.2 3 0.06 d 0.04    (1)写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图； (2)若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率． 10．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取七八九年级名学生调查每周用于阅读的时间： 【设计方案】 方案 调查方式 方案 在指定学校中随机抽取名学生进行调查分析 方案 在全区七八九年级中随机抽取名学生进行调查分析 方案 在八年级男生中随机抽取名学生进行调查分析 【数据分析】将抽取的名学生每周用于课外阅读的时间（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：（），（），（），（），并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)三个方案中具有代表性的方案是 （填“”或“”或“”）； (2)请补全条形统计图； (3)在全区抽取的等级样本中，某校有名学生被抽中，其中名男生和名女生．该校计划从这名同学中，随机抽取名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中名男生和名女生的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等可能条件下的概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、概率的意义 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．为了解—批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查调查方式、事件的分类、概率的意义．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据调查方式、概率的意义，事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、为了解—批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，选项正确，符合题意； B、某彩票中奖率是，买100张彩票不一定有一张中奖，不符合题意； C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故选项错误，不符合题意； D、从装有10个红球的袋子中摸出一个白球不可能事件，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．反映空气主要成分的占比宜采用扇形统计图 B．环保部门为了解某泊湖水质情况，应采取全面调查的方式 C．彩民购买1张彩票，中奖．这个事件是不可能事件 D．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面向上” 【答案】A 【分析】本题主要考查的是事件的分类以及抽样调查和全面调查．根据随机事件和必然事件的概念，概率的意义，结合选项可得答案． 【详解】解：A．反映空气主要成分的占比宜采用扇形统计图，正确； B．环保部门为了解某泊湖水质情况，应采取抽样调查的方式，故原说法不正确； C．彩民购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，故原说法不正确； D．抛掷一枚硬币100次，可能有50次“正面向上”，故原说法不正确； 故选A． 2．A、B、C三个事件发生的概率分别为 ．对其中一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大”．该事件是 ．（选填“A、B或C”） 【答案】A 【分析】根据概率的意义进行求解即可． 【详解】解：∵一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大” ∴该事件发生的概率为， ∴该事件是A， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 3．如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【答案】② 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； ②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确； ③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误； ④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 类型二、判断概率的大小关系 【解惑】一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 【融会贯通】 1．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 【详解】∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 2．袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 【答案】红 【分析】分别计算出摸到红球、白球的概率，即可比较． 【详解】解：∵袋子里有5只红球，3只白球， ∴任意摸出1只球，摸到红球的概率为：， 摸到白球的概率为：， ∴摸到红球的可能性大． 故答案为：红． 【点睛】本题考查简单概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 3．一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 【答案】小于 【分析】分别求出摸出白色和黄色球的概率，再比较摸出两种颜色球的可能性大小即可． 【详解】∵摸出白球的可能性为，摸出黄球的可能性为 ∴摸出白球的可能性小于摸出黄球的可能性． 故答案为：小于． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求概率时，应注意熟练概率公式是解题的关键． 类型三、根据概率公式计算概率 【解惑】如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接利用概率公式即可得答案． 【详解】解：有、、、四个不同的出口， 王师傅恰好从出口驶出的概率为， 故选：C． 【融会贯通】 1．一个袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，每个球除颜色外都相同，小明从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，共10个球， ∴任意摸出一个球，摸到黄球的概率为． 故选：B． 2．二十四节气是上古农耕文明的产物，它在我国传统农耕社会中占有极其重要的位置，它科学地揭示了天文气象变化的规律，将天文、农事、物候和民俗实现了巧妙的结合如图，随机转动指针一次，则指针落在夏至区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式直接求出即可． 【详解】解：随机转动指针一次，指针指向有24种可能，指针落在夏至区域有1种可能， 指针落在夏至区域的概率是． 故答案为：． 3．口袋里有3个红球和2个白球，球除颜色外完全相同．从中任意摸出1个球，那么摸出红球的可能性是 ，摸出白球的可能性是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋里有3个红球和2个白球， ∴摸出红球的可能性，摸出白球的可能性， 故答案为：，． 类型四、已知概率求数量 【解惑】一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：， 解得：， 经检验：时，， 所以是原方程的解． 故选：B． 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据概率求数量，根据概率的公式即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：， 则， 故选：D． 2．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查已知概率求数量，根据指针指向红色的概率，求出涂上红色的小扇形的个数即可． 【详解】解：由题意，得：涂上红色的小扇形有（个）； 故答案为：2． 3．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 类型五、几何概率 【解惑】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率问题．设矩形中，，先求出，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 设矩形中，， ∵点分别是的中点， ∴； 同理可得：， ∴， ∴， 故选：A ． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴所求阴影部分的面积为． ∵正方形的面积为， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 2．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 3．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为，设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义(反映随机事件出现的可能性大小)计算即可． 【详解】解：设每小格的面积为1， 由图知，整个面积为9，黑色区域的面积3， 最终停在黑色区域上的概率是． 故答案为：． 类型六、列举法求概率 【解惑】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 【融会贯通】 1．实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：56，65，57，75，58，85，共6种结果， 其中是奇数的结果有：65，57，75，85，共4种， 实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为． 故选：D． 2．盒子里装有5张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查可能性，用出现奇数的情况除以总情况即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出奇数的情况有3种， 故摸出奇数的可能性是． 故答案为：． 3．如图，随机地闭合开关中的三个，能够使灯泡同时发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求随机事件的概率，根据图示，把所有等可能结果表示出来，再运用概率计算公式即可求解，掌握列举法求随机事件的概率的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把所有等可能结果表示出来如下， 共有10种等可能结果，能让同时发光得结果有两种， ∴你能够使灯泡同时发光得概率是， 故答案为： ． 类型七、列表法或树状图法求概率 【解惑】如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康，又给家庭增加不必要的开销．为此，数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料 根据统计结果绘制了如下统计表和统计图，利用统计表和统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 自带白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均单价（元/瓶） 0 2 3 4 (1)这个班级有 名同学；扇形统计图中B所对应扇形的圆心角是 度． (2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，平均单价见表格），则该班同学每天用于饮品上的人均花费是 元； (3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到2名女生的概率是多少？ 【答案】(1)50，144 (2)2.6 (3) 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图、平均数的应用、运用列表法求概率等知识点，能够熟练的通过统计图得到的信息是解题关键． （1）利用B组的数据可求总人数，然后用乘以B组学生所占的百分比即可解答； （2）算出总费用后除以总人数即可； （3）运用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， 扇形统计图中B所对应扇形的圆心角为； （2）解：引用C饮品的人数为：（人） （元）； （3）解：根据题意列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男2男1 女1男1 女2男1 女3男1 男2 男1男2 女1男2 女2男2 女3男2 女1 男1女1 男2女1 女2女1 女3女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 女3女2 女3 男1女3 男2女3 女1女3 女2女3 由列表可知共有20种等可能结果，其中2名女生的结果数为6，则恰好抽到两名女生的． 【融会贯通】 1．2024年3月10日，享有“地球王国世界花园”的百里杜鹃景区正式进入花季．今年杜鹃花季从3月10日持续至4月底，吸引了许多国内外游客前来观赏．现对某校初中生就“2024中国百里杜鹃花季”的了解情况进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． (1)根据以上信息可知： ，补全条形统计图； (2)估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有 人； (3)“很了解”的4名学生中，有3名八年级学生和1名七年级学生，现从这4人中随机抽取两人去参加教育局举办的“2024中国百里杜鹃花季”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是多少？ 【答案】(1)32，详见解析 (2)600 (3)刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由的人数除以所占百分比得出抽样调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校初中学生人数乘以“基本了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽样调查的学生人数为：（人）， ，的人数为：（人）， ， 故答案为：32， 补全条形统计图如下： ； （2）解：估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有（人）， 故答案为：600； （3）解：把3名八年级学生分别记为、、，1名七年级学生记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的结果有6种， 刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是． 2．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小致喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小致从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是______． (2)小致先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小致两次抽取的卡片中有一张是书法社团C的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，正确通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率是解题关键． （1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小致两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：小致从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表可知共有12种等可能结果，小致两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为6种， 所以小致两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率为． 答：小致两次抽取的卡片中有一张是书法社团C的概率． 3．巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果； (2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可； （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择参加自选素质的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别为； （2）解：由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择考试同一项目的结果有3种， 甲、乙两名同学选择考试同一项目的概率． 类型八、游戏的公平性 【解惑】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 【融会贯通】 1．为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】此规则不合理，理由见解析 【分析】本题考查游戏公平性，解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比. 画树状图得出所有可能出现的结果，分别求出两个小球和是奇数和偶数的概率即可得出答案. 【详解】此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有种等可能的结果，其中选甲乙的有种结果，选丙丁的有种结果， ∴ ，故此规则不合理. 2．由于疫情爆发，小王家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．小王和爸爸用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数，爸爸出小区购买生活必需品；若差为正数，小王出小区购买生活必需品．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能结果，从中找到差为负数和正数的情况，分别求出对应概率，比较后即可得出答案． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： 1 2 5 6 3 2 3 5 0 1 5 0 1 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， ∴爸爸出小区购买生活必需品的概率为， 小王出小区购买生活必需品的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 3．张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【答案】(1)； (2)这样的规则不公平；可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由见解析． 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）根据表格分别求出甲、乙获胜的概率，即可判断游戏规则的公平性，再根据概率的意义提出合理的游戏规则即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中两个数的差为的结果有种， ∴两个数的差为的概率为； （2）解：由表可知，，， ∵，即， ∴这样的规则不公平； 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由如下： ∵，， ∴， ∴这样的规则公平． 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 【解惑】如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 【融会贯通】 1．如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)不公平，理由见详解 (2)游戏规则见详解 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【详解】（1）不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平． （2）我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 2．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 3．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算． 【详解】解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况， ∴转动一次转盘获得购物券概率=． （2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元， ∴选择转转盘对顾客更合算． 类型十、概率的其他应用 【解惑】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【融会贯通】 1．小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． 2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1 说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______； (2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率； (3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？ 【答案】(1) (2) (3)应安排A电影两个场次B电影一个场次 【分析】（1）根据图标直接求值即可； （2）先求出总数和获得好评的第四类电影数，再根据概率公式即可求出答案； （3）求得A，B电影上座率和排一场A，B电影的收入，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）∵总的电影部数是：（部）， 第四类电影中获得好评的有（部）， ∴P（这部电影是获得好评的第四类电影） （3）A电影上座率， B电影上座率， 排一场A电影收入（元）， 排一场B电影收入（元）， 由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键． 3．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【答案】(1) (2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利 【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可． （2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可． 【详解】（1）解：对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9． 所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． ∵， ∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． 【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【一览众山小】 1．有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（    ） A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块） 【答案】B 【分析】根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可．本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：有7张扑克牌，且黑桃为1张、红心为3张、梅花为1张、方块为2张， ∴抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为， 抽到的花色可能性最大的是红心， 故选：B． 2．若从下列图中任取一个图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形和轴对称图形的识别，现根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断出四幅图中既是轴对称图形，也是中心对称图形的个数，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：第一幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第二幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第三幅图不是轴对称图形，是中心对称图形， 第四幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴从下列图中任取一个图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是， 故选：B． 3．如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，现将它们背面朝上洗匀，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为，摸到3号卡片的概率为，则与的大小关系是（   ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式直接求解，然后比较即可． 【详解】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，3号的有2张， ∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是，摸到3号卡片的概率是， ∴ 故选：B． 4．小明一家准备用假期的两天去游玩，并且每天都要去一个不同的地方，现有三个地方可供选择，分别是“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”，则小明一家这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据题意列出表格，得到共有6种等可能的结果，而满足条件的结果有2种，利用概率公式即可求解． 【详解】解：先将“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”分别记作A，B，C，然后列表如下， 第二天第一天 A B C A (A，B) (A，C) B (B，A) (B，C) C (C，A) (C，B) 共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而满足条件的结果有2种，P(这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”)． 故答案为： 5．从一副扑克牌中挑出一张红桃、三张黑桃．把它们背面朝上洗匀放在桌上，随机从中抽取一张，记下花色后不放回，再从桌上剩下的扑克牌中随机抽取一张，两次抽到的扑克牌花色一样的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法求概率，解题关键是熟悉列表法的适用情况，并且掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 红 黑 黑 黑 红 红，黑 红，黑 红，黑 黑 黑，红 黑，黑 黑，黑 黑 黑，红 黑，黑 黑，黑 黑 黑，红 黑，黑 黑，黑 共12种等可能的情况，其中花色相同的情况有6种， ∴； 故答案为：． 6．一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，1，3，随机摸取两个小球，则两个小球上的数字之和为非负数的概率为 ． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：依题意，列表如下： 1 3 0 2 1 0 4 3 1 2 4 由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上的数字之和为非负数的有8种结果， 所以两次取出的小球上的数字之和为非负数的概率为． 故答案为：． 7．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，求恰好这个两位数是奇数的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据题意求出所有能组成的两位数，再找到是奇数的个数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字能组成的两位数有12，13，21，23，31，32，共6个两位数，其中是奇数的有4个， ∴恰好这个两位数是奇数的概率的概率为． 8．老子、孔子、墨子是春秋战国时期的三位思想家，李老师让两位同学采用抽卡片的方式介绍这三位思想家，现有3张正面分别写有“老子”“孔子”“墨子”的不透明的卡片，卡片除正面内容不同外，其余均相同．将3张卡片正面向下洗匀，第一位同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后正面向下放回，洗匀后第二位同学再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法求两位同学都介绍老子的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两位同学都介绍老子的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：写有“老子”“孔子”“墨子”的不透明的卡片分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两位同学都介绍老子的结果有1种， ∴两位同学都介绍老子的概率为． 9．某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题： 步数 频数 频率 8 a 15 0.3 12 b c 0.2 3 0.06 d 0.04    (1)写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图； (2)若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率． 【答案】(1)，，，，补全图形见解析 (2) 【分析】（1）根据频数，总数，频率之间的关系即可求解； （2）画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 补全频数分布直方图，如下图：    （2）解：设步数为的三名教师分别为A、B、C，步数为的2名教师分别为X、Y， 画树状图如下：    由树状图可得，被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为 ． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求频数，求概率，读懂统计表，画树状图，熟练掌握概率的公式，并会利用数形结合思想解答是解题的关键． 10．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽取七八九年级名学生调查每周用于阅读的时间： 【设计方案】 方案 调查方式 方案 在指定学校中随机抽取名学生进行调查分析 方案 在全区七八九年级中随机抽取名学生进行调查分析 方案 在八年级男生中随机抽取名学生进行调查分析 【数据分析】将抽取的名学生每周用于课外阅读的时间（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：（），（），（），（），并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)三个方案中具有代表性的方案是 （填“”或“”或“”）； (2)请补全条形统计图； (3)在全区抽取的等级样本中，某校有名学生被抽中，其中名男生和名女生．该校计划从这名同学中，随机抽取名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中名男生和名女生的概率． 【答案】(1)； (2)补全条形统计图见解析； (3)． 【分析】（）根据题意可直接得出答案； （）分别求出A，C等级的人数，补全条形统计图即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 【详解】（1）由调查方式可知，三个方案中具有代表性的方案是， 故答案为：； （2）等级的人数为：（人）， 等级的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示， （3）画树状图如图所示 ， 共有种等可能的结果，其中名男生和名女生的可能性有种， ∴恰好选中名男生和名女生的概率为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$