专题03 一元一次方程（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题03 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 3．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是 ． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．定义新运算符号“★”为，例：；若，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 3．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为 ． 类型四、一元一次方程应用——方案问题 【解惑】甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【融会贯通】 1．春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 2．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 3．青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 类型五、一元一次方程应用——几何动点问题 【解惑】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【融会贯通】 1． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 2．如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动．两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； (2)如图②，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)直接写出时t的值． 3．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为12，边长为3． (1)数轴上点A表示的数为____； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S．设点A的移动距离． ①当时，求x的值； ②若D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D、E所表示的数互为相反数时，求x的值． 类型六、一元一次方程的绝对值 【解惑】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【融会贯通】 1．【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 2．阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 3．【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系． 两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．    【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x． 若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 类型七、一元一次方程的规律 【解惑】【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 【融会贯通】 1．如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 2．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题：；；； ． (1)补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式； (2)计算：． (3)若x是正整数，且，求x的值． 3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按下图所示的方式组成图案： (1)根据规律可知，第个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个． (2)第个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．(用含n的代数式表示) (3)在某个图形中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多1635吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 类型八、一元一次方程的新定义方程 【解惑】给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“好姊妹数对”，如：数对，，都是“好姊妹数对”． (1)数对，是“好姊妹数对”吗？ (2)若是“好姊妹数对”，求的值； (3)若是“好姊妹数对”，那么是“好姊妹数对”吗？ 【融会贯通】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 2．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 类型九、一元一次方程的阅读理解 【解惑】阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把，这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作 ．例如：原点表示数，原点关于的对称数组是． (1)如果点表示数，那么点关于的对称数组是______________； (2)如果，那么点表示的数是_______；的值是______； (3)如果点、是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 【融会贯通】 1．阅读理解： 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合． (1)分别说明集合，是不是好的集合？ (2)所有好的集合中，元素个数最少的集合是______； (3)如果一个好的集合有n个元素，那么这n个元素的和是______． 2．阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为，（为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，； 请解决下面的问题： (1)已知一列数2，，6，，10，，14，，18，…，求值； (2)已知一列数0，，8，，16，，24，，32，…，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 3．阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．     例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题： ①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 类型十、一元一次方程的数轴动点 【解惑】如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P从B开始向左移动6个单位长度，则　　．若点P移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是 　　． (2)当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是 ，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数 　　表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知：点、、为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：，例如：若点表示的数为0，点表示的数为，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：． (1)如图，、、为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点在数轴上且，则点表示的数为______； ③点是数轴上一点，且，求点所表示的数． (2)数轴上，点表示的数为，点表示的数为50，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且的速度为5单位/秒，设运动时间为秒，当时，请直接写出的值． 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足．点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动．设点运动的时间为（秒）（）． (1)点表示的数为________，点表示的数为________； (2)当点碰到挡板时，的值为________； (3)当时，点表示的有理数为________；当时，点表示的有理数为________； (4)试探究：点到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时的值；若不能，请说明理由． (5)当点碰到挡板的同时，挡板从点以每秒1个单位长度的速度在数轴上向右运动，直接写出点在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时的值． 3．综合与探究 如图，数轴的原点为，点是数轴上的三点，点对应的数是，若的值是一元一次方程的解． 【解决问题】 （1）求出的值，及点，点表示的数 【初步探究】 （2）若动点分别从点、点同时出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒，求为何值时，点与点能够重合？假设点与点重合的点记为点，请直接写出点表示的数 【深入探究】 （3）若动点先从点出发向右运动2秒后、动点从（2）中的点出发向左运动，动点的速度仍分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度，设动点的运动时间为秒．问：当为何值时，动点和之间的距离为4个单位长度？请直接写出的值 【一览众山小】 1．某电视机去年提价，今年想要恢复原价，则应降价（   ）． A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（    ） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 4．方程 的解是 ． 5．如图，按照程序图计算，当输入一个比10大的整数时，输出的结果是161，则输入的的值可能是 ． 6．儿子今年6岁，父亲今年33岁，再过 年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍． 7．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且．    (1)A、B对应的数分别为 、 ； (2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 8．观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断数对“，2”，“7，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)若是“共生有理数对”，请判断“，”是不是“共生有理数对”？并说明理由． 9．某公司在A，B两地分别有同型号的机器17台和15台，目前需要把这些机器中的18台运往甲地，14台运往乙地．从A，B两地运往甲，乙两地的费用如表： 甲地（元台） 乙地（元台） A地 600 500 B地 400 800 (1)设从A地运往甲地x台，则从A地运往乙地______台，从B地运往乙地______台．（结果用x的代数式表示，且代数式化到最简） (2)当运送总费用为15800元时，请确定运送方案（即A，B两地运往甲、乙两地的机器各几台）． 10．数轴体现了数形结合的数学思想，请解决下面与数轴相关的问题． (1)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12，则A，B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．找出所有符合条件的整数x，使得成立，这样的整数是 ； (2)在点A表示的数为，点B表示的数为12的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（）．求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换元法得出y+1=3，进而解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=3， ∴关于y的一元一次方程，y+1=3， 解得：y=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 【融会贯通】 1．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 2．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【详解】解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解法，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．把方程化为，令可得，由题意可得，即可求解． 【详解】解：在方程中， ∴ 令， 可得， 由题意可得，方程的解为 则 解得； 故答案为： 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 【融会贯通】 1．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 2．已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 3．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．求出方程的解为，从而可得是正整数，据此求出k的值，由此即可得． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵一元一次方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或1或0或， ∴满足题意的整数k的和是． 故答案为：0． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 【融会贯通】 1．定义新运算符号“★”为，例：；若，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据，解方程即可． 【详解】解：根据新定义得 故选：B 2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，先根据新定义得出关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解：根据题意化简，得：， 整理得：，即， 解得：． 故答案为：2 3．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据新定义可得关于x的方程，解出即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 类型四、一元一次方程应用——方案问题 【解惑】甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【答案】(1)千米； (2)选择汽车运输比较合算． 【分析】（）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 【融会贯通】 1．春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)198 (2)400或423 (3)①；；②当时，按方案一更省钱；当时，一样省钱，当时，按方案二更省钱 【分析】本题考查列代数式，有理混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题关键是理解方案一中的计算方法． （1）消费超过200元，可以用两张优惠券，剩余10元原价支付即可． （2）分两种情况讨论：用方案一或方案二，分类得出每一种情况即可，因为最多可以用三张优惠券，所以减去三个优惠券的价格，就是多出300元的部分，从而得出利用方案一计算的消费额，方案二直接打九折，那就直接除以0.9即可． （3）①按照方案一、方案二列出代数式，化简得出即可．②首先求出两种方案相等的数值，在分类讨论即可． 【详解】（1）解：某次消费240元，使用代金券后，实际花费（元； 故答案为：198； （2）解：某次实际花费360元， 如果用方案一：（元，（元， 如果用方案二：（元 故答案为：400或423； （3）解：①某次消费元，按照方案一使用代金券后，实际花费为：元， 按照方案二进行优惠，实际花费为：元， 故答案为：，； ②令， 解得， 当时，按方案一更省钱， 当时，一样省钱， 当时，按方案二更省钱． 2．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 3．青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【答案】(1)①；② (2)在甲网店购买较为合算 (3)购买跳绳为104条时，两家网店付款相同 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，得出结论； （3）根据在两家网店付款相同列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得： 在甲网店购买需付款：； 在乙网店购买需付款：； 故答案为：；； （2）解：当时， 若在甲网店购买，需付款， 若在乙网店购买，需付款：． 此时，在甲网店购买较为合算． （3）解：由． 解得：． 即购买跳绳为104条时，两家网店付款相同． 类型五、一元一次方程应用——几何动点问题 【解惑】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 【融会贯通】 1． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，一元一次方程的应用，分三种情况：当P在上时， 当P在上时，当点P在上时，分别画出图形，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∵点是的中点， ∴， 当P在上时，如图1所示：此时， ∵的面积等于， ∴ ， 解得：； 当P在上时，，如图2所示：， ， ， ∵的面积等于， ∴ 解得：，不符合要求，舍去； 当点P在上时，如图3所示： ， ， ∵的面积等于10， ∴， 解得，符合要求； 综合上述，当或时，的面积会等于10 ． 2．如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动．两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； (2)如图②，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)直接写出时t的值． 【答案】(1) (2)秒时，的面积等于面积的 (3)t为4或时， 【分析】本题考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，由，可得方程，解方程即可． （2）当Q在线段上时，厘米，则厘米，根据的面积等于面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动．②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动．③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当P在线段上运动，Q在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米， ∵， ∴， ∴． 即秒时，； （2）解：当Q在线段上时，厘米，则厘米， ∵的面积等于面积的， ∴， ∴， 解得：． 即秒时，的面积等于面积的； （3）解：由题意可知，Q在线段上运动的时间为12秒，P在线段上运动时间为8秒， ①当时，P在线段上运动，Q在线段上运动，厘米，厘米， 则厘米，厘米， ∵， ∴， 解得； ②当时，Q在线段上运动，P在线段上运动，厘米， 则厘米，厘米， ∵， ∴， 解得； ③当时，Q在线段上运动，P在线段上运动时， 则厘米，厘米， ∵， ∴， 解得，不合题意舍去 综上所述，t为4或时，． 3．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为12，边长为3． (1)数轴上点A表示的数为____； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S．设点A的移动距离． ①当时，求x的值； ②若D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D、E所表示的数互为相反数时，求x的值． 【答案】(1)4 (2)① ；② 【分析】本题考查主要考查了一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程． （1）由长方形的面积即可表示点； （2）①根据面积可得x的值；②由点、所表示的数互为相反数，判断出长方形向左平移，点表示的数是，点表示的数是，根据已知关系能够得到，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为12，边长为3． ， 点表示4； 故答案为：4； （2）解：①∵， ∴ ∴； ②点、所表示的数互为相反数， 正方形向左平移， ，是的中点， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ． 类型六、一元一次方程的绝对值 【解惑】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 【融会贯通】 1．【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 【答案】(1) (2)或 (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，求一个数的绝对值，一元一次方程的应用，正确讨论x的取值范围从而去绝对值解方程是解题的关键． （1）先计算出的结果，再根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义可得或，解方程即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，然后解方程求出x的取值范围，进而求出符合题意的整数x的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， 解得或； （3）解：当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ∵， ∴，此时恒成立； 当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，， ∴符合题意的整数x有． 2．阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)或； (3)x的值为或． 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得； （2）由表示的意义为：在数轴上到表示和的点的距离为，据此解答可得； （3）由点P到A、B两点的距离之和等于7列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知数轴上表示和4两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）解：∵，即在数轴上数轴上表示和的点的距离为， ∴或， 或， 故答案为：或； （3）解：表示在数轴上表示的点到和2的点的距离之和， ∴， 当时，，解得， 当时，，此时方程无解， 当时，，解得， ∴x的值为或． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值，一元一次方程的应用，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，理解绝对值的意义是解题的关键． 3．【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系． 两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．    【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x． 若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 【答案】（1）7；（2）；（3）或；（拓展应用）5；4.5或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用； （1）根据两点距离公式求解即可； （2）根据两点距离公式求解即可； （3）根据两点距离公式可得，解方程即可； （拓展应用）根据的范围分类讨论即可． 【详解】（1）由题意可得与1对应的两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）两点距离公式可得， ∴， ∴或， 故答案为：或； （拓展应用）表示的数为2，点表示的数为， 点在点，之间时，则， ， 故答案为：5； 若， 不在点，之间， 分两种情况：当在左侧，即时， 则， 解得：， 当在右侧，即时， 则， 解得：， 故答案为：4.5或． 类型七、一元一次方程的规律 【解惑】【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 【答案】（1）（2）（3）该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元一次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给给花卉盆数的表示方法，用n表示出第n个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1； …， 所以第n个图案中盆景的盆数为盆． 故答案为：； （2）因为第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为， …， 所以第n个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆. 【融会贯通】 1．如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． （1）根据所给的图形进行类比得到答案； （2）根据（1）中的结果类比得到公式即可； （3）利用公式得到方程解题即可． 【详解】（1） 观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 故答案为：； （2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点， 故答案为：； （3）解： ， 解得：， 答：n的值为． 2．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题：；；； ． (1)补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式； (2)计算：． (3)若x是正整数，且，求x的值． 【答案】(1)， (2) (3)1011 【分析】本题考查探究图形的变化类规律及解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题意所给的前几个等式和图形，即可解答； （2）先提取负号，再根据（1）中得出的结论，将算式化为，即可解答； （3）根据题意将等式化为，结合（1）中的结论，得出，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：第四个等式：， 第个图对应的等式：． （2）解： ． （3）解：因为是正整数，， 所以． 所以， 解得． 即的值为1011． 3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按下图所示的方式组成图案： (1)根据规律可知，第个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个． (2)第个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．(用含n的代数式表示) (3)在某个图形中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多1635吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)能，是第个图形 【分析】本题考查图形规律探究，一元一次方程的应用； （1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第①个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第②个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第③个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； ， 所以第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个， 当时， 个， 个， 即第⑥个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个． 故答案为：，． （2）由（1）知， 第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个． 故答案为：，． （3）能，是第个图形． 由题意知，， 解得， 所以在第个图形中，白色正方形的个数刚好比黑色正方形多个． 类型八、一元一次方程的新定义方程 【解惑】给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“好姊妹数对”，如：数对，，都是“好姊妹数对”． (1)数对，是“好姊妹数对”吗？ (2)若是“好姊妹数对”，求的值； (3)若是“好姊妹数对”，那么是“好姊妹数对”吗？ 【答案】(1)数对不是“好姊妹数对”，数对是“好姊妹数对” (2) (3)是“好姊妹数对” 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则运算，解一元一次方程： （1）根据新定义进行验证即可； （2）根据新定义得到，解方程即可得到答案； （3）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴数对不是“好姊妹数对”； ∵， ∴数对是“好姊妹数对”； （2）解：∵是“好姊妹数对”， ∴， 解得； （3）解：∵是“好姊妹数对”， ∴， ∴， ∴是“好姊妹数对”． 【融会贯通】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 2．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为8， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得 类型九、一元一次方程的阅读理解 【解惑】阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把，这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作 ．例如：原点表示数，原点关于的对称数组是． (1)如果点表示数，那么点关于的对称数组是______________； (2)如果，那么点表示的数是_______；的值是______； (3)如果点、是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】(1) (2)， (3)点P、Q之间的距离是或10 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次方程的应用；数轴上两点的距离； （1）根据对称数组的定义，即可求解； （2）根据新定义得出，； （3）根据新定义可得，，进而由得出，解关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，如果点表示数，那么点关于的对称数组是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （3）∵，，两点同时从原点出发反向运动， ∴，， ∵， ∴， 即 ①当时， ． ． 得 ； ②当时， 解得：， 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 【融会贯通】 1．阅读理解： 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合． (1)分别说明集合，是不是好的集合？ (2)所有好的集合中，元素个数最少的集合是______； (3)如果一个好的集合有n个元素，那么这n个元素的和是______． 【答案】(1)不是“好”的集合，是“好”的集合； (2) (3)一个“好”的集合有个元素，这个元素的和是． 【分析】（1）用减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合当中进行判断即可； （2）元素个数最少的集合中只要有一个元素，故此，从而可求得问题的答案； （3）读懂“好”的集合的意义，分情况讨论好集合中元素的和的情况． 【详解】（1）解：， ∴不是“好”的集合， ，，，， ∴是“好”的集合； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴元素个数最少的“好”的集合是； 故答案为：； （3）解：当为偶数时，这个元素的和是， 当为奇数时，， ∴一个“好”的集合有个元素，这个元素的和是． 【点睛】本题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解好集合的概念是解题的关键． 2．阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为，（为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，； 请解决下面的问题： (1)已知一列数2，，6，，10，，14，，18，…，求值； (2)已知一列数0，，8，，16，，24，，32，…，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1)6 (2)， (3)存在，1012或1013 【分析】本题考查新定义问题，涉及一列数的数字规律、前项和的规律、绝对值运算、有理数加减运算和一元一次方程的运用等知识，读懂题意，按照前项的定义列式、找规律是解决问题的关键. （1）根据题中的定义列式得，代值求解即可得到答案； （2）由题中所给一列数，找到规律，第偶数个数的符号为负；第项的绝对值是，且这一列数从第一项起，前后两项和为，根据题中的定义列式求解即可得到答案； （3）由（2）中规律，当时，对分奇数和偶数分类讨论，列方程求解即可得到答案. 【详解】（1）解：由题中的定义列式得 ； （2）解：一列数0，，8，，16，，24，，32，…， 这一列数的第偶数个数的符号为负，则第50个数为负数， 又这一列数的绝对值依次为、、、…、、…，则； ； （3）解：存在， 理由如下： 若为偶数，由（2）可知， ，解得； 若n为奇数，由（2）可知 （去掉第一数0，共有个数） ， ，解得； 当时，的值为1012或1013 3．阅读下列材料，按要求解答问题： 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数． 上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．     例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解． 解决问题： ①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？ ②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由. 【答案】①1、－1、7、－7；②该方程有整数解， x=3是该方程的整数解 【分析】①认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”，再作答； ②根据分析（1）得出3的因数后再代入检验可得出答案． 【详解】解：①由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数． ②该方程有整数解． 方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0 进行验证得：x=3是该方程的整数解． 【点睛】本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题．认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础． 类型十、一元一次方程的数轴动点 【解惑】如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P从B开始向左移动6个单位长度，则　　．若点P移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是 　　． (2)当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是 ，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数 　　表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；或 (2)， (3)或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程. （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据体力列方程解题即可. 【详解】（1）点P从B开始向左移动6个单位长度， ∴， 点P移动到与点A距离3个单位长度时，点P对应的数是或， 故答案为：；或； （2）P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是， 折叠后，点P所在的位置表示的数为， 故答案为：，； （3）解：t秒后，点P所在的位置表示的数为，点Q所在的位置表示的数为， ∵点Q到点A距离等于点P到点A距离的2倍， 即， 解得或． 【融会贯通】 1．已知：点、、为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：，例如：若点表示的数为0，点表示的数为，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：． (1)如图，、、为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点在数轴上且，则点表示的数为______； ③点是数轴上一点，且，求点所表示的数． (2)数轴上，点表示的数为，点表示的数为50，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且的速度为5单位/秒，设运动时间为秒，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)①4；②2；③11或3； (2)的值为7或16 【分析】本题考查一元一次方程的几何应用、数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据新定义，求得、即可求解； ②根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； ③根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可； （2）根据点运动的速度可得运动秒表示的数为，分点在的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 【详解】（1）解：①∵点表示，点表示，点表示5， ∴，， 则是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵， ∴， ∵点表示，点表示5， ∴表示的数为2； 故答案为：2； ③∵， ∴， 设点表示的数为x， 当点D在线段上时， 则， ∴， ∴表示的数为3； 当点D在线段的延长线上时， 则， ∴， ∴表示的数为11； 故点所表示的数为：11或3； （2）解：由题意可知，经过秒后，表示的数为：， ∵点表示的数为，点表示的数为50， 当点在点和点之间时， ，， ∵，即， ∴， 解得：， 当点在点右侧时， ，， ∵，即， ∴， 解得：， 综上，当时，的值为7或16． 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足．点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动．设点运动的时间为（秒）（）． (1)点表示的数为________，点表示的数为________； (2)当点碰到挡板时，的值为________； (3)当时，点表示的有理数为________；当时，点表示的有理数为________； (4)试探究：点到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时的值；若不能，请说明理由． (5)当点碰到挡板的同时，挡板从点以每秒1个单位长度的速度在数轴上向右运动，直接写出点在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时的值． 【答案】(1)； (2)6； (3)4，5； (4)或 ． (5)t的值为或7.6或14 【分析】（1）由绝对值的非负性即可得出结论； （2）求出点A与点B之间的距离为，再根据，即可求解； （3）当时，点P表示的有理数为，当时，点P到达挡板后从B点出发运动了1秒，即点P表示的有理数为； （4）分两种情况讨论：当时， ，当时，点P表示的数是 ，则有，分别解方程即可 ； （5）当时，，当时，P表示的数是，挡板原点后表示的数是，有，即可解得答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解：点A表示的数为，点B表示的数为8， ， 点P碰到挡板时，t的值为， 故答案为：6； （3）解：当时，点P表示的有理数为， 当时，点P表示的有理数为； 故答案为：4，5； （4）解：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等，理由如下： 当时，点P表示的数为， ， 解得， 当时，点P表示的数是 ， 则有， 解得， 综上所述，t的值为或 ． （5）解：当时，， 解得， 当时，P表示的数是，挡板原点后表示的数是， ∴， 解得或， 综上所述，t的值为或7.6或14． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上动点问题，解题的关键是能用含t的代数式正确的表示出点运动后所表示的数． 3．综合与探究 如图，数轴的原点为，点是数轴上的三点，点对应的数是，若的值是一元一次方程的解． 【解决问题】 （1）求出的值，及点，点表示的数 【初步探究】 （2）若动点分别从点、点同时出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒，求为何值时，点与点能够重合？假设点与点重合的点记为点，请直接写出点表示的数 【深入探究】 （3）若动点先从点出发向右运动2秒后、动点从（2）中的点出发向左运动，动点的速度仍分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度，设动点的运动时间为秒．问：当为何值时，动点和之间的距离为4个单位长度？请直接写出的值 【答案】（1）1，，3；（2）4秒，7；（3）或 【分析】（1）解一元一次方程，求出x的值，然后得出点A，点表示的数即可； （2）先表示出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据点与点能够重合列出方程，求出t的值即可； （3）先表示出点P表示的数为，点Q表示的数为，分两种情况：当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解方程得：， ∴点B对应的数为1， ∵，， ∴点A表示的数为，点C表示的数为； （2）根据题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点与点重合， ∴， 解得：， 点与点重合的点为， 即时，点与点能够重合，点表示的数为7． （3）根据题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P在点Q的左侧时，两个点之间的距离为4，则， ， 解得：； 当点P在点Q的右侧时，两个点之间的距离为4，则， ， 解得：； 综上分析可知：当或时，动点和之间的距离为4个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是注意进行分类讨论． 【一览众山小】 1．某电视机去年提价，今年想要恢复原价，则应降价（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，注意恢复原价是提价后的价格的基础上降低价格． 本题中没有此商品的原价，为了简便，可设此商品的原价为1，提价25%后的价格为：，欲恢复原价是在1.25的基础上降价．等量关系为：降价百分比原价． 【详解】解：降价的百分比为x．     则： 解得：． 故选：B． 2．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． 设买羊的人数为x人，根据羊的价格不变，列出方程即可． 【详解】解：设买羊的人数为x人， 根据题意，可列方程为， 故选：D． 3．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（    ） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 【答案】B 【分析】设乙第一次追上甲用了分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，再根据可得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 【详解】解︰设乙第一次追上甲用了分钟， 由题意得∶， 解得∶， 而． 所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点处． 故选∶． 4．方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握去括号是解题的关键．去括号再移项合并同类项进行计算即可． 【详解】解：， ． 5．如图，按照程序图计算，当输入一个比10大的整数时，输出的结果是161，则输入的的值可能是 ． 【答案】17或53 【分析】本题考查一元一次方程的应用；熟练掌握分类讨论输出结果是解题的关键． 用给定的计算程序，分一次运算、两次列方程，求解得出相应的正整数x即可． 【详解】解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则 ， 解得， 如果输入的数结经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是53， 于是， 解得， 如果输入的数结经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是53，第1次计算后的结果是17， 于是， 解得， ∵x为比10大的整数， ∴不符合题意，舍去， 综上所述，输入的x的值可能是17或53， 故答案为：17或53． 6．儿子今年6岁，父亲今年33岁，再过 年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍． 【答案】3 【分析】本题考查方程的应用，设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍，然后根据题意给出的等量关系即可求出答案． 【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍，则有， ， 解得，， 即：3年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍， 故答案为：3 7．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且．    (1)A、B对应的数分别为 、 ； (2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在使得的值是定值，定值为55 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据题意计算出，再根据数轴上两点距离计算公式可得答案； （2）设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，据此分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出，再根据是定值，即值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：；； （2）解：设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵是定值， ∴， ∴， ∴存在使得的值是定值，定值为55． 8．观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断数对“，2”，“7，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)若是“共生有理数对”，请判断“，”是不是“共生有理数对”？并说明理由． 【答案】(1)“，”是“共生有理数对”；“，”不是“共生有理数对” (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查有理数的四则运算、“共生有理数对”的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“共生有理数对”的定义判断即可； 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故“，”不是“共生有理数对”； ，， ， ∴“，”是“共生有理数对”； （2）解：由题意可知，， 解得：； （3）解：是，理由如下： ， ， 是“共生有理数对”， ， ，   ∴ “，”是“共生有理数对”． 9．某公司在A，B两地分别有同型号的机器17台和15台，目前需要把这些机器中的18台运往甲地，14台运往乙地．从A，B两地运往甲，乙两地的费用如表： 甲地（元台） 乙地（元台） A地 600 500 B地 400 800 (1)设从A地运往甲地x台，则从A地运往乙地______台，从B地运往乙地______台．（结果用x的代数式表示，且代数式化到最简） (2)当运送总费用为15800元时，请确定运送方案（即A，B两地运往甲、乙两地的机器各几台）． 【答案】(1)； (2)从A地运往甲地5台，运往乙地12台；从B地运往甲地13台，运往乙地2台 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据总费用等于从A，B两地运往甲，乙两地的费用之和列方程求解即可． 【详解】（1）解：设从A地运往甲地x台， 根据题意，从A地运往乙地台，从B地运往乙地台， 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴，，， 答：当运送总费用为15800元时，从A地运往甲地5台，运往乙地12台；从B地运往甲地13台，运往乙地2台． 10．数轴体现了数形结合的数学思想，请解决下面与数轴相关的问题． (1)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12，则A，B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．找出所有符合条件的整数x，使得成立，这样的整数是 ； (2)在点A表示的数为，点B表示的数为12的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（）．求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）． 【答案】(1)15；；3或 (2)当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)秒或秒或5秒 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式即可求得A，B两点之间的距离，根据线段中点的定义，即可设元列方程，求出线段的中点表示的数，根据绝对值的几何意义，即可分情况讨论，求得使成立的整数值； （2）分别求出点P，点Q所对应的数，即可列方程求解； （3）先求出运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解． 【详解】（1）； 设线段的中点表示的数为x， 则， 解得； 对于，设点A表示的数为，点B表示的数为2，点P所表示的数为x，则，， ， 点P在点A的左侧或在点B的右侧， 当点P在点A的左侧时，， ， 点P所表示的数为； 当点P在点B的右侧时，， ， 点P所表示的数为3； 综上所述，点P所表示的数为3或； 故答案为：15；；3或． （2）运动t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为， 根据题意得， 解得， 当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 理由如下： 点A表示的数，点B与点A的距离是10， 点B所表示的数是9， 运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为， ①当B是的中点时，， ， 解得； ②当P是的中点时，则， ， 解得； ③当Q是的中点时，则， ， 解得； 综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义，线段中点的有关计算,理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$