湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024年高三秋季数学入学考试试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项数列满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是（　　） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 6. 近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ） A. 240 B. 420 C. 540 D. 900 7. 如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则　　 A. 平面 B. 直线和直线所成的角为 C. 当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆 D. 过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为 10. 已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 的周长随着线段长度的增大而增大 11. 已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（ ） A. 函数的图象关于中心对称 B. 函数的极大值有可能小于零 C. 对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率 D. 若三点共线，则. 12. 已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共4小题，） 13. 已知集合，则__________． 14. 已知函数，则不等式的解集为__________． 15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为__________． 16. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 四、解答题（共6小题） 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由. （3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上（异于端点）． （1）若点是棱的中点，求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 19. 国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 垃圾焚烧无害化 处理厂的个数 y 166 188 220 249 286 331 389 463 （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数； （3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 参考数据：， 20. 已知函数，其中． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若存在正数，使得，且时，，求的取值范围． 21. 已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. （1）设，求证：是定值； （2）求的取值范围. 22. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质． 2024年高三秋季数学入学考试试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 【12题答案】 【答案】BD 三、填空题（共4小题，） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 四、解答题（共6小题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2），513 （3）答案见解析 【20题答案】 【答案】（1）答案见解析. （2） 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【22题答案】 【答案】（1）最小项为 （2）数列具有性质，理由：， ， 数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． （3）证明：先证数列满足条件①： ． 当时， 则， 数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到） 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $