专题7　一次不等式（组）的应用 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题7　一次不等式（组）的应用 【知识梳理】 在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的．因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式(组)，运用不等式(组)的相关知识予以求解． 不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题． 列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤： 1．弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； 2．找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； 3．列出不等式(组)； 4．解这个不等式(组)，求出解集并作答． 【例题探究】 【例1】　小明去商店购买A，B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量，则小明的购买方案有(　　) A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【思路点拨】　设小明购买A种玩具x件，则购买B种玩具件，根据题意列出不等式组进行解答即可． 【例2】　已知关于x，y的二元一次方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围． (2)若方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长，求满足条件的整数a的值． 【思路点拨】　(1)先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再根据x，y都是正数列出不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围；(2)根据组成三角形的条件列出不等式，求得a的取值范围，即可得出整数a的值． 【例3】　某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话： (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个． (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板打八折，那么小明最多可购买钢笔多少支． 【思路点拨】　(1)设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x＋1)个，根据对话内容列出方程，解方程可得答案；(2)设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用不超过400元列出不等式，解不等式可得答案． 【例4】　学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，需购买A，B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． (1)购买一件A道具和一件B道具分别需要多少元？ (2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元． ①道具A最多购买多少件？ ②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买的件数，该班级共有几种方案？试写出所有方案，并求出最少费用为多少元． 【思路点拨】　(1)设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元，根据“购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．(2)设购买A道具m件，则购买B道具(60－m)件．①根据两种道具的总费用不超过620列不等式求解即可；②由A道具购买的件数不少于B道具购买的件数，列不等式求出m的取值范围，结合①中m的取值范围以及m为整数的条件即可得出各种购买方案，再求出各种购买方案所需费用，比较后即可得出最少费用． 【例5】　已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表： A元素含量 单价/(万元/吨) 甲原料 5% 2.5 乙原料 8% 6 已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨．若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨．问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？ 【思路点拨】　由提取A元素20千克建立二元一次方程，由废气排放不超过16吨建立一元一次不等式，求出原料的取值范围．再根据单价建立费用与原料之间的关系式，利用原料的取值范围即可求出费用的最小值． 【例6】　某超市看好A，B两种水果的市场价值，决定每天购进A，B两种水果共100 千克，经调查这两种水果的进价及售价如表所示，设购买A种水果x千克(x为整数)． 种　类 A B 进价/元 10 14 售价/元 16 18 (1)若该超市每天投入资金不少于1 160元，每天利润又不少于514元，则共有几种不同的购买方案？ (2)在(1)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的A种水果每千克捐出2a 元，B种水果每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值． 【思路点拨】　(1)先用x的代数式分别表示出该超市每天投入的资金和利润，再列不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出购买方案的个数；(2)由题意得，当x＝60时超市获得的利润最大，根据利润率不低于20%列出不等式即可解答本题． 【例7】　某钱币收藏爱好者，想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币．他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币．请你根据此要求，设计所有的兑换方案． 【思路点拨】　这是一道方案设计题，是涉及方程和不等式解决问题的综合应用题．题目中包含的相等关系：①所有硬币的总价值是3.50元；②共有硬币150枚．不等关系：①2分硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．另外，硬币的枚数为整数，2分的硬币的数量是4的倍数． 【答案解析】 【知识梳理】 在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的．因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式(组)，运用不等式(组)的相关知识予以求解． 不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题． 列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤： 1．弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； 2．找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； 3．列出不等式(组)； 4．解这个不等式(组)，求出解集并作答． 【例题探究】 【例1】　小明去商店购买A，B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量，则小明的购买方案有(　　) A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【解题过程】　设小明购买A种玩具x件，则购买B种玩具件． 根据题意，得 解得3＜x≤8. ∵x为整数，也为整数，∴x＝4或x＝6或x＝8，∴有3种购买方案． 故选C. 【方法归纳】　本题主要考查一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键． 【例2】　已知关于x，y的二元一次方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围． (2)若方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长，求满足条件的整数a的值． 【解题过程】　解：(1)解方程组得 ∵关于x，y的二元一次方程组的解都为正数，∴ 解得－2＜a＜1. (2)∵方程组的解x是等腰三角形的腰长，y为底边长， ∴x＋x>y，即2(a＋2)＞1－a．解得a＞－1. ∵－2＜a＜1，∴－1＜a＜1. ∵a为整数，∴a＝0. 【方法归纳】　这种题型的解题方法：先求得方程组的解，再根据解要满足的条件，列出不等式(组)，通过解不等式(组)即可获得问题的解决． 【例3】　某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话： (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个． (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板打八折，那么小明最多可购买钢笔多少支． 【解题过程】　解：(1)设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x＋1)个． 根据题意，得10(x＋1)×0.85＝10x－17， 解得x＝17. 答：小明原计划购买文具袋17个． (2)设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔(50－y)支． 根据题意，得[8y＋6(50－y)]×80%＋(10×17－17)≤400， 解得y≤4.375. ∴最大整数y＝4. 答：小明最多可购买钢笔4支． 【方法归纳】　本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用．解决问题的关键是要读懂题意，找到关键描述语，列出方程和不等式． 【例4】　学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，需购买A，B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． (1)购买一件A道具和一件B道具分别需要多少元？ (2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元． ①道具A最多购买多少件？ ②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买的件数，该班级共有几种方案？试写出所有方案，并求出最少费用为多少元． 【解题过程】　解：(1)设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元． 根据题意，得解得 答：购买一件A道具需要15元，购买一件B道具需要5元． (2)设购买A道具m件，则购买B道具(60－m)件． ①根据题意，得15m＋5(60－m)≤620．解得m≤32. 答：A道具最多购买32件． ②根据题意，得m≥60－m．解得m≥30. 又∵m≤32，且m为整数，∴m＝30，31，32. ∴该班级共有3种购买方案： 方案1：A道具购买30件，B道具购买30件，所需费用为15×30＋5×30＝600(元)； 方案2：A道具购买31件，B道具购买29件，所需费用为15×31＋5×29＝610(元)； 方案3：A道具购买32件，B道具购买28件，所需费用为15×32＋5×28＝620(元)． ∵600＜610＜620， ∴购买最少费用为600元． 【方法归纳】　本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用．解题的关键是根据题目条件正确列出二元一次方程组及一元一次不等式． 【例5】　已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表： A元素含量 单价/(万元/吨) 甲原料 5% 2.5 乙原料 8% 6 已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨．若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨．问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？ 【解题过程】　解：(1)设购买甲、乙两种原料分别为x吨和y吨，则 即∴5x＝2－8y. ∴10(2－8y)＋40y≤16．解得y≥0.1. 设购买甲、乙两种原料所需要的费用为W万元，则 W＝2.5x＋6y＝2.5×＋6y＝1＋2y≥1.2. ∴当y＝0.1，x＝0.24时，W最小＝1.2. 答：该厂购买这两种原料最少需要1.2万元． 【方法归纳】　本题考查二元一次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找出表示题目全部含义的数量关系是关键． 【例6】　某超市看好A，B两种水果的市场价值，决定每天购进A，B两种水果共100 千克，经调查这两种水果的进价及售价如表所示，设购买A种水果x千克(x为整数)． 种　类 A B 进价/元 10 14 售价/元 16 18 (1)若该超市每天投入资金不少于1 160元，每天利润又不少于514元，则共有几种不同的购买方案？ (2)在(1)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的A种水果每千克捐出2a 元，B种水果每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值． 【解题过程】　(1)由题意，购买A种水果x 千克，则购买B种水果(100－x)千克， ∴该超市每天投入的资金为10x＋14(100－x)＝(1 400－4x)元， 每天的利润为(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝(400＋2x)元， 由题意，得 解得57≤x≤60. ∵x为整数，∴x＝57，58，59，60， ∴共有4种不同的购买方案． (2)由题意，当x＝60时，超市获得的利润最大． 则60(16－2a)＋(100－60)(18－a)－60×10－(100－60)×14≥[60×10＋(100－60)×14]×20%， 解得a≤1.8. ∴a的最大值为1.8. 【方法归纳】　本题考查了一元一次不等式(组)的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解答本题的关键． 【例7】　某钱币收藏爱好者，想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币．他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币．请你根据此要求，设计所有的兑换方案． 【解题过程】　方法1：设兑换成1分，2分，5分的硬币分别为x枚，y枚，z枚． 依据题意，得由②－①，得y＝200－4z. 将y＝200－4z分别代入③④，得 解得40<z≤45. ∵z为正整数，∴z只能取41，42，43，44，45．由此得出x，y的对应值，共有5种兑换方案： 方法2：设兑换成1分，2分，5分的硬币分别为x枚，y枚，z枚． 依据题意，得 ∵y是4的倍数，∴可设y＝4k(k为自然数)． ∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5． 将y＝4k代入①②，可解得z＝50－k. ∵z>y，∴50－k>4k，即k<10．∴5≤k<10． 又∵k为自然数，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y，z的对应值，共有5种兑换方案： 【方法归纳】　在关系复杂的实际问题中，要注意审题，找到题目中所有的相等关系或不等关系，并要把握其中的隐含条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$