2024年湖南省益阳市沅江市中考数学一模试卷

2024年湖南省益阳市沅江市中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是(    ) A. B. C. D. 2.计算的结果是(    ) A. 5 B. C. 6 D. 3.下列各数中为不等式的解是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为点D，若，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，正五边形ABCDE的边长为5，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 7.某公园有三个出入口，每个出入口均可进可出，乐乐周末陪父母去公园散步三人全程都在一起，他们随机从每个出入口进出，则从同一个出入口进出的概率是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当与x轴相切、与y轴相切时，连结AB，，则k的值为(    ) A. 3 B. C. 4 D. 5 9.杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，秤砣拉线位于零刻度位置如图；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动秤砣保持平衡，秤砣拉线所在的刻度对应物体的重量.设称盘里物体重量为x kg时，平衡后秤砣拉线位置距称纽的距离为如图，则如图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 10.某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究如图，其中，，，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接，如图，下列关于四边形的说法正确的个数有(    ) ①一直是平行四边形； ②平移后是矩形； ③平移后是菱形； ④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为，买文具支付8元则记为______. 12.化简______. 13.一元二次方程的解是______. 14.在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______. 15.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有x辆车，则可列方程为______. 16.如图，在中，按以下步案作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相于点M和N；②作直线MN交边AB于点若，，，则AB的长为______. 17.小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”如图所示，山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为______. 18.如图，在中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的是______把所有正确结论的序号都填上 ①，②，③，④若，则 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算： 20.本小题6分 在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、 求证： 21.本小题8分 先化简，再求值，其中 22.本小题8分 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系. 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： 填空：______，______， ， 如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系. 23.本小题9分 生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500mL的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：全部喝完；剩约；剩约一半；开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 参加这次会议的有多少人？图2中D所在扇形的圆心角是多少度？补全条形统计图； 若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ 据不完全统计，该单位每年约有此类会议20次，为创建节约型社会，减少浪费，请对该单位提一条关于会议饮水的合理化建议. 24.本小题9分 沅江市湖泊众多，被誉为“东方威尼斯”，某实践探究小组想知道湖边两处凉亭的距离，但该距离无法直接测量，他们通过分工合作，测量组测量数据，实践探究小组设计并得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边A，B两处的距离 成员 组长：组员： 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 方法：因为湖边A，B两处凉亭的距离无法直接测量，数据测量组在湖边找了一处位置C，用皮尺可测量C处到A，B两处的距离，通过测角仪可测得、、的度数. 测量数据 角的度数 ，， 边的长度 米，米 数据处理组得到上面数据以后进行分析，他们发现不需要测量组的全部数据就可以计算出A，B之间的距离.于是数据处理组写出了以下过程，请补全条件，并根据条件解决问题. 已知：如图，在中，，______，______从记录表中再选两个数据填入横线作为条件 求：线段AB的长最后结果保留整数，，， 25.本小题10分 已知：如图1，抛物线T：与x轴交于两点A，点A在点B的右边，与y轴交于点 若点A坐标为，点C的坐标为 ①求抛物线T的表达式； ②连接BC，AC，点E是线段AB上的动点不含端点A，，过点E作交BC于点F，连接求的面积的最大值. 当时，点G是抛物线T上在第一象限内的定点，过点G且不与坐标轴平行的直线l：与抛物线T有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点M，过点G的另一条直线：与x轴相交于点与M不重合，如图当时，p与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系，若不存在，请说明理由. 26.本小题10分 在矩形纸片ABCD中，，，将纸片折叠，使顶点A落在CD边上的点E处. 如果折痕FG分别与边AD，AB交于点F，如图，当时，求折痕FG的长； 如果折痕FG分别与边CD，AB交于点F，如图，且的外接圆刚好与直线BC相切于点M，连接AE、EM、AM，AE与FG相交于点 ①证明：∽； ②求折痕FG的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：选项A中的实物抽象出的几何图形为球， 故选项A不符合题意； 选项A中的实物抽象出的几何图形为长方体， 故选项B符合题意； 选项C中的实物抽象出的几何图形为圆柱， 故选项C不符合题意； 选项D中的实物抽象出的几何图形为圆台， 故选项D不符合题意， 故选： 根据各选项中的实物所抽象出的几何图形逐一进行判断即可得出答案． 此题主要考查了简单几何体，准确地识别球、长方体、圆柱、圆台是解决问题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：， ， 故选： 根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，即可得到结果． 此题主要考查了有理数的乘法，牢记法则即可． 3.【答案】A  【解析】解：， ， 则， 故选： 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4.【答案】C  【解析】解：依题意得：，， ，a、b异号，且 ，D错误； ； 正确； ； 错误； 故选： 由题意可知，，故a、b异号，，且根据有理数加减法得的值应取b的符号“+”，故；由，利用作差法求得 本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：， ， 直线， 故选： 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据两直线平行，同位角相等解答． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：五边形ABCDE是正五边形， ， ， 故选： 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 7.【答案】A  【解析】解：将三个出入口分别记为A，B，C，列表如下： A B C A   B   C 共有9种等可能的结果，其中从同一个出入口进出的结果有3种， 从同一个出入口进出的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及从同一个出入口进出的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由题意，得， ， 由两点距离公式可得： 或 又， 故选： 依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：设称盘里物体重量为x kg时，平衡后秤砣拉线位置距称纽的距离为如图， 提起称纽保持平衡后，秤砣拉线位于零刻度位置， 则y是x的正比例函数， 能反映y与x之间的函数关系的大致图象是A选项， 故选： 根据题意结合图象判断即可． 本题考查反比例函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解决问题． 10.【答案】C  【解析】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点B重合，此时点A，B，C在同一条直线上，如图2所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选： ①根据平移的性质得，，因此在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，由此可对结论①进行判断； ②先计算出，，则当平移√3后，则，进而得，，然后根据得为直角三角形，则四边形是矩形，由此可对结论②进行判断； ③当平移后，点与点B重合，此时点A，B，C在同一条直线上，则，，且，此时四边形是菱形，由此可对结论③进行判断； ④由①②③可知平移√3后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形，而四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，由此得在平移的过程中，不可能出现正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质，图形的平移变换及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，理解全等三角形的性质，图形的平移变换及性质熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：收到16元记为， 支付8元则记为 故答案为： 根据正数和负数的定义进行计算． 本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键． 12.【答案】  【解析】解：原式 故答案为 先根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可． 本题考查了平方差公式和整式的混合运算，主要考查学生的计算能力． 13.【答案】，  【解析】解：方程分解得：， 可得或， 解得：， 故答案为：， 方程利用因式分解法求出解即可． 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14.【答案】10  【解析】解：数据13，9，a，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为： 先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可． 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 15.【答案】  【解析】解：依题意，得： 故答案是： 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16.【答案】17  【解析】解：连接DC，如图： 由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为： 连接DC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故 本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键． 17.【答案】2  【解析】解：由题意，得A、B两地的实际直线距离为，B、C两地的实际直线距离为， ：：：1， 即 故答案为： 根据题意，得出A、B两地的实际直线距离，B、C两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 本题考查了比例线段，由题意，正确得出A、B两地的实际直线距离，B、C两地的实际直线距离是解题的关键． 18.【答案】②③  【解析】解：①假设， 则， 点D是弧AC的中点， ， ， 点D，C将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分， 假设是错误的， 故结论①不正确； ②延长DG交于H，连接AH，如图1所示：   为直径，， ， 又， ， ， 即， ， 故结论②正确； ③， ， ， 为直径，， ， ， 故结论③正确； ④连接BC，如图2所示： 在中，， 可设，， 由勾股定理得：， 由结论②正确得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，AB是直径， ， ∽， ， ， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是②③， 故答案为：②③． ①假设，则弧弧BC，再根据点D是弧AC的中点得弧弧CD，则弧弧弧BC，即点D，C将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，由此可对结论①进行判断； ②延长DG交于H，连接AH，根据垂径定理得弧弧弧CD，则，即，据此可对结论②进行判断； ③由弧弧弧CD得弧弧AC，则，再根据垂径定理得，据此可对结论③进行判断； ④连接BC，在中由，设，，则，由结论②正确得，则，进而得，证明∽得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 19.【答案】解：   【解析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则分别计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 20.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ，， 、F分别是BC、CD的中点， ，， 在和中 ， ≌，   【解析】根据菱形的性质可以得出，，进而就可以得出≌，从而得出 本题考查了菱形的性质的运用，线段的中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用菱形的性质证明三角形全等是关键． 21.【答案】解：原式 当时，原式  【解析】先计算括号里面的算式，再计算乘除，最后代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 22.【答案】  5  【解析】解：，， ， 故答案为：，5； ①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形． ②， 根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； ①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23.【答案】解：参加这次会议的人数为人， 图2中D所在扇形的圆心角是， C的人数为人， 补全条形统计图如下： 毫升； 答：估计这次会议平均每人浪费矿泉水毫升； 建议：①改发小瓶矿泉水；②自选矿泉水；③供应开水；④有剩余矿泉水带走等．答案不唯一  【解析】由B的人数和所占的百分比可以求出总人数，用乘以D所占的百分比即可求出D所在扇形的圆心角的度数，用总人数减去其它组的人数求出C的人数，即可将条形统计图中补完整； 用总的浪费量除以总人数50就得到平均每人的浪费量； 从节约用水角度提出合理建议均可． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24.【答案】米    【解析】解：已知：如图，在中，，米， 求：线段AB的长． 解：过C作于D，， ，米， 米，米， ， ， 米， 米， 答：线段AB的长为109米． 故答案为：米， 过C作于D，得到，解直角三角形即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是连接辅助线构造直角三角形． 25.【答案】解：①由题意得， ， ， ； ②如图1， 连接AF， 由得， ，， ， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， ， 时，， 的面积的最大值是3； 如图2， ，理由如下： ， 当时，， ， 直线的解析式为：， 作于H， ， ， 直线与关于GH对称， ， ， 与抛物线T：有唯一公共点， 有两个相等的实数根， 即， ，   【解析】①将A、两点的坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； ②连接AF，先求得，根据得出，，可证得∽，从而，从而得出，进而表示出，从而得出，进一步得出结果； 可求得，从而得出直线的解析式为：，作于H，可得出直线与关于GH对称，从而，从而得出，根据与抛物线T：有唯一公共点得出有两个相等的实数根，进一步得出结果． 本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的交点和一元二次方程根的判别式之间的关系等知识，解决问题的关键是数量掌握有关基础知识． 26.【答案】解：，， ， 由折叠的性质得：，， 四边形ABCD为矩形， ，，，， 在中，，， ， 锐角， ， ， 在中，，，， ， ； ①连接PM，如图所示： 由折叠的性质得：点A与点G关于EG对称， ，， 为直角三角形，AE为斜边， 为外接圆的直径，点P是该圆的圆心， 与BC相切于点M， ， ， 又， ， ， ， ∽； ②与BC相切于点M， ， ， ， 为梯形ABCE的中位线， ， ∽， ， 即， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 设，则， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 由三角形的面积公式得：， 即，   【解析】由，得，由折叠的性质得，，在中，，则，由此得，则，据此可得折痕FG的长； ①连接PM，由折叠的性质得，，根据直角三角形性质得AE为外接圆的直径，点P是圆心，再根据与BC相切于点M得，由此可证明，据此可判定∽； ②先证明PM为梯形ABCE的中位线，则，由∽得，则，进而得，则，设，则，由折叠的性质得，，在中由勾股定理求出，则，然后由三角形的面积公式得，据此即可得折痕FG的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，直角三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数及勾股定理等，理解矩形的性质，图形的折叠变换及其性质，熟练掌握直角三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$