精品解析：四川省攀枝花外国语学校本部2024-2025学年上学期八年级开学考试数学试题

初二数学开学定时作业 一．选择题（共10小题） 1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 2. 如图：若 ，且，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 3. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 6. 如图，的三边，， 的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是 的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 8. 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知：如图，在长方形中，， ．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（ ）秒时，和全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 10. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共4小题） 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 12. 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______． 13. 如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且 ，若，则的长为 ___________． 14. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形． 三．解答题（共7小题） 15. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC． 16. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作 ，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证： ． 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证： 是等腰三角形． （2）当 时，求 ． 18. 【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证： ； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点， ，连接，以为边在内作等边 ，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学开学定时作业 一．选择题（共10小题） 1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 2. 如图：若 ，且，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC﹣AE求解即可． 【详解】解：∵ ，AB=5， ∴AC=AB=5， ∵AE=2， ∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键． 3. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接 ．若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到 ，进而求出 的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到与全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即，即可求出 的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 则，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6. 如图，的三边，， 的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作 于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作 于点，作于点． ，，是的三条角平分线，， ， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是 的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出 ，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴ ， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 8. 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示： 以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 9. 已知：如图，在长方形中，， ．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（ ）秒时，和全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 10. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断； ⑤过作于点，由④知， 为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴，故①正确； ②当是的中线时，，故②错误； ③∵， ∴为的中线， ∵为的角平分线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤过作，于点， 由④知， 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键． 二．填空题（共4小题） 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 12. 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______． 【答案】13 【解析】 【详解】解：DE是AB的垂直平分线， 所以EA=EB， 所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 故答案为：13． 13. 如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且 ，若，则的长为 ___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角形即可解答． 【详解】解：∵和分别是和的平分线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 14. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形． 【答案】30°或75°或120° 【解析】 【分析】分三种情况当点O，点A，点P为等腰三角形顶角，利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°， 当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°， 当点P为顶点时，∠A=30°， 故答案为30°或75°或120°． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，分类讨论思想，对于等腰三角形求角度，分类考虑点O，点A，点P为等腰三角形顶角是解题关键． 三．解答题（共7小题） 15. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，再有∠B=∠D，根据“AAS”即得△AFD≌△CEB，于是AD=CB． 【详解】解：AE=CF， AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， AD∥BC， ∠A=∠C， 在△AFD与△CEB中 △AFD≌△BEC， ∴AD=CB． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质． 16. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作 ，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证： ． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证 可证，根据三线合一得出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证： 是等腰三角形． （2）当 时，求 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证 是等腰三角形； （2）根据 可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出 的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ， ∴ 是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， ， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证： ； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点， ，连接，以为边在内作等边 ，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，点E的运动路程为 【解析】 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取构造，从而证出，，再用线段和差即可得证； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和 中， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ； （3）解：如图，在上截取，连接， ，且， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ， 平分， 如图所示，点在的内角的角平分线上上运动． 点的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ， ， 即点的运动路程为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $