精品解析：北京市大峪中学2025届高三上学期开学定位考试数学试题

北京市大峪中学2024—2025学年度第一学期定位考试卷 数学 2024.09 第一部分（选择题共40分） 一､选择题10小题，每小题4分，共40分､在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 3. 下列函数中， 既是奇函数又在上单调递增是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，与共线，则=（ ） A. 6 B. 20 C. D. 5 5. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C D. 6. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） ①三棱锥的体积为定值： ②且线与平面所成的角的大小不变： ③直线与所成的角的大小不变： ④. A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是____________． 12. 在的展开式中，常数项为______． 13. 已知抛物线焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________． 14. 已知函数的部分图象如图，，则___________，___________． 15. 若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①； ②； ③； ④． 其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）． 三､解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． （1）求证：//平面； （2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （1）求角A的大小； （2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可) 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； （2）从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. （1）求E的方程； （2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 20. 设函数，其中是自然对数底数. （1）当时，求函数的极值. （2）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围. （3）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 21. 若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列： ①，其中，表示，这个数中最大的数； ②，其中，表示，这个数中最小的数. （1）判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由； （2）若：数列，且，，成等比数列，求； （3）证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市大峪中学2024—2025学年度第一学期定位考试卷 数学 2024.09 第一部分（选择题共40分） 一､选择题10小题，每小题4分，共40分､在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 2. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得且，从而可求出的值 【详解】解：因为复数是纯虚数， 所以且，解得， 故选：A 3. 下列函数中， 既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】对于A：定义域，为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误； 对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误； 对于D：令定义域为，且， 所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，与共线，则=（ ） A. 6 B. 20 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可. 【详解】由题意知， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 5. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 6. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值. 【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形， ∴正方形的边长等于直线、的距离，则， 若圆的半径为r，，即，则， 由正方形的性质知：， ∴，即有. 故选：B. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，， 则，解得， 令， 可得，此时满足只有成立； 若，则， （1）若为奇数，则，不满足； （2）若为偶数，则，且， 即，可得，即不成立； 综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1. 故选：A. 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 10. 如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） ①三棱锥的体积为定值： ②且线与平面所成的角的大小不变： ③直线与所成的角的大小不变： ④. A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由已知证得面判断①；点P在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等判断②；根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质判断③；由线面垂直的判定定理证得平面判断④. 【详解】 对于①，由，平面，平面，得平面， 则上任意一点到平面的距离相等，又，因此三棱锥的体积不变，①正确； 对于②，点到平面的距离相等，而，直线与平面所成的角不相等，②错误； 对于③，由平面，平面，得，又，且都在面内， 则平面，又平面，则， 因此点P在直线上运动时，直线与直线所成的角的大小不变，③正确； 对于④，在正方体中，平面，平面， 则，又，且，平面， 则平面，而平面，于是，同理，又， 平面，则平面，又平面，因此，④正确， 所以所给结论正确的是①③④. 故选：D 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解. 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中，常数项为. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值. 【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故答案为： 14. 已知函数的部分图象如图，，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由求出，由图像得，结合求解，根据函数的对称性得，再结合求得结果. 【详解】结合题意可知，，， ∵，∴， 又由图像可知，，即，解得. 又由，即，即，， 从而，故， 令，，则， 从而的对称轴为，， 由图像可知，与关于对称，即，， 因为，即， 所以． 故答案为：；##. 15. 若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①； ②； ③； ④． 其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f（x）在其图象上存在不同的两点，使得、共线，即存在点A、B与点O共线，结合4个函数的图象分别判断即可. 【详解】设，则， 由题意可知，即，即， 所以，又， 所以，即共线，亦即三点共线， 也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联. 对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数； 对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数； 对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点， 即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数； 对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数； 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键. 三､解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． （1）求证：//平面； （2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，证明//，即可由线线平行证明线面平行； （2）过作平面的垂线，结合几何特点求得，再求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 取中点为，连接，如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//； 又，故//，则四边形为平行四边形，//； 又面面，故//面. 【小问2详解】 过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示： 由（1）可知，//，故平面也即平面； 因为//，则； 又面面，故； 又面，故面； 又面，则，又； 面，故面， 则即为与平面的夹角； 在△中，因为，则，； 在△中，因为，，则； 又，，即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （1）求角A的大小； （2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可) 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选②③不合题意；选①②，面积为；选①③，面积为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小. （2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积. 【小问1详解】 ，， ，， ， 由于，所以. 【小问2详解】 若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定. 若选①②，三个已知条件是， 由正弦定理得，此时存在且唯一， ， 所以； 若选①③，三个已知条件是， 由余弦定理得， 即，解得，此时存在且唯一， 所以. 18. 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； （2）从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可. （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. （3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式可得答案. 【小问1详解】 从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为； 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育活动时间在学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； 【小问3详解】 根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 13 12 7 5 4 内初中生的总运动时间， 内高中生的总运动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 19. 已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. （1）求E的方程； （2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件. 【小问1详解】 当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为， 则，得，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设， ， ，， 由题意可知，，，即， 所以； （ⅱ）假设存在点，使得， 因为，，， 所以，，， 则， 由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线， 如图， 则，所以， 则点与点重合，这与已知矛盾， 所以不存在点，使. 20. 设函数，其中是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值. （2）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围. （3）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的极大值为，极小值为； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数来判断函数的单调区间，即可求函数的极值； （2）求导得，令，等价于在内满足或恒成立，因为，所以当且仅当时，，时，,进而得的取值范围． （3）先假设存在，因为，若在，上存在实数，使得，在区间，上分别求出和的最大值和最小值，然后讨论求解． 【小问1详解】 解：由已知，得， 时，．令，可得或， 函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数， 所以函数的极大值为，极小值为. 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 解：， 令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内， 满足或恒成立， 当且仅当时，，时，， 因为，所以当且仅当时，，时，， 因为在内有，当且仅当即时取等号， 所以当时，，，此时在单调递增， 当时，，，此时在单调递减， 综上，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：，在，上是减函数， 时，；时，，即，. ①时，由（2）知在，递减（1），不合题意. ②时，由，， 不合题意 ③时，由（1）知在，上是增函数，故只需， ，，而（e），， ，解得． 故的取值范围为，． 21. 若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列： ①，其中，表示，这个数中最大的数； ②，其中，表示，这个数中最小的数. （1）判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由； （2）若：是数列，且，，成等比数列，求； （3）证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数） 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据数列的定义验证； （2）根据数列的定义先列式求出，进而可求出； （3）先说明数列满足结论，然后假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使得，通过数列的定义退出矛盾，进而达到证明结论的目的. 【小问1详解】 ：2，4，6，7，10不是数列，理由如下： 因为， 所以， 但，所以不满足性质①，故不是数列； 【小问2详解】 根据：是数列可得：满足： 或，或， ①若，因为，，成等比数列，所以， 又，所以，所以，得， ②若，因为，，成等比数列，所以， 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 所以， 由以及， 得，所以， 由以及， 得， 由以及， 可知，所以； 【小问3详解】 当时，根据数列的定义，可知或, 若，取，则，结论成立， 若，取，则，结论成立， 假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为， 即存在数列对任意实数，存在，使得， 根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列， 从而存在实数，使得，， 即， 令，则， 令 ，则， ①若，根据的定义，存在，使得， 又， 则且， 所以， ②若，根据的定义，存在，使得， 又， 则，且， 所以， 所以， 令，则， 即， 所以， 所以， 即，与假设矛盾， 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使得，利用反证法达到解决问题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$