精品解析：江苏省徐州市鼓楼区徐州市第三中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

徐州三中2025届高三上第一次质量调研 数学学科试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案. 【详解】因为， 即，可得， 所以 . 故选：D. 5. 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 所以为偶函数． 当时，，可知函数在上单调递减，且． 对于不等式成立，则，解得或， 又因为，所以，即正实数的取值范围是． 故选：C． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式及同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】由， 即， 即， 即 由，则， 即， 即有，解得， 故. 故选：A. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数的单调性，根据单调性分析得解. 【详解】因为， 所以， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又因为在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，解得，令，解得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 由，可得，即， 则，可得，即； 由，可得，即， 则，可得，即； 综上所述： . 故选：D. 【点睛】思路点睛：再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知随机变量服从正态分布；则 C. 已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为；若，则 D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用条件概率公式判断A；利用正态分布的性质判断B；利用回归方程的性质判断C；利用数据方差的性质判断D即可. 【详解】对于选项A：因为， 则，所以，故A错误； 对于选项B：因为随机变量服从正态分布，， 所以，故B正确， 对于选项C：因为，所以， 将代入中，得到，解得，故C正确， 对于选项D：因为样本数据的方差为， 所以数据的方差为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知内角的对边分别是，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化简判断A；由选项A，结合基本不等式求解判断B；由正弦定理边化角，再由的范围得的范围判断C；由选项A及已知求得判断D. 【详解】对于A，由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得，则， 当时，，即， 当时，，又，则，， 于是，因此，A正确； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由正弦定理得， 由为锐角三角形，，得，则， ，因此，C正确； 对于D，由，，，得，D错误. 故选：ABC 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得， 所以的系数为24. 故答案为：24. 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可. 【详解】因为，则， 令得，解得， 则， 所以. 故答案为：. 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案. 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 证明：在四棱锥中， 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且. 又因为底面是正方形，是的中点， 所以，且.所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由于平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以.又因为平面. 所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系. ，，，，，. ，， 设平面的法向量为.有：即令，则， 所以..设直线与平面所成角为. 有：. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3），求函数的值域． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法求得的单调增区间. （3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. 【详解】（1）由题意知：， ， ，由于， 所以， 所以函数的解析式：； （2）由，得， 增区间为； （3），. ． ∴函数在区间上的值域为． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）极大值，极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； 【小问3详解】 由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a与区间的位置关系，从而确定最值，求得参数范围. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理，有， 即， 又，即有，， ，，所以，，故． 【小问2详解】 设，，由（1）知， 在△ABC中，由余弦定理，可知 ，∴ 又，可知， 在△ABD中，， 即，① 在△ACD中，， 即，② 联立①②解得. 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 ，所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2025届高三上第一次质量调研 数学学科试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. 16 D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知随机变量服从正态分布；则 C. 已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为；若，则 D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 10. 已知内角的对边分别是，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 13. 已知函数，则__________. 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3），求函数的值域． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $