3.2实数（题型专练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第3章 实数》 3.2 实 数 知识点一 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点二 实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点三 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点四 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 题型一 无理数的识别 解题技巧提炼 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 1．（2024•永修县二模）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．3.14 D．0 2．（2023秋•莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 3．（2024•湖南模拟）在实数，0，，中，无理数是（　　） A． B．0 C． D． 4．（2024春•濉溪县期末）在0.121212，，，0，，0.121121112……中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．1.5 6．（2024春•无为市期末）在下列各数：﹣4，，，4π，0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数； ②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根； ④3的平方根是； ⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 题型二 实数的分类 解题技巧提炼 本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数. 1．（2024春•濉溪县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．实数包括正有理数、负有理数和无理数 B．无限小数是无理数，有限小数是有理数 C．有理数运算法则和运算律适合实数运算 D．有理数和无理数之间不可以大小比较 2．（2024春•楚雄州期末）下列各数中，属于正整数的是（　　） A．0 B． C．1 D． 3．（2023秋•社旗县期末）实数，，0，﹣1中，为负整数的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 4．（2024春•河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2023春•夏津县期末）下列说法中错误的是（　　） A．是整数 B．是有理数 C．是分数 D．的立方根是无理数 6．（2023秋•玄武区校级月考）下列数：6，﹣3.14，，0，，0.，，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 　 　；属于负分数集合的有 　 　；属于无理数的有 　 　． 7．（2023秋•温州期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②0，③，④，⑤，⑥4.131． 整数：　 　； 分数：　 　； 无理数：　 　． 8．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，，，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1） 9．（2024春•沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 题型三 实数和数轴的关系 解题技巧提炼 根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小. 1．（2023秋•新乡期末）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A．2.3 B． C． D． 2．（2023春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 3．（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b| 4．（2023春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 　 　（填“A”或“B”或“C”或“D”）． 6．（2024•兴庆区校级一模）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 　 　． 7．（2023秋•邢台期中）如图，有一个半径为个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 　 　；若点B表示的数是，则点B在点A'的 　 （填“左边”、“右边”）． 8．（2024春•东城区期末）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O．该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为 　 ． 9．把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来： 3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，． 10．（2023秋•西安月考）如图，已知实数，﹣1，，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D． （1）求点C与点D之间的距离； （2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值． 题型四 求一个实数的相反数 解题技巧提炼 求一个实数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 1．（2024•宁波模拟）的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•邵东市期中）已知ab＝1，若a＝2024，则b的相反数是（　　） A．﹣2024 B． C． D． 3．（2023春•潮南区期中）的相反数是（　　） A．﹣0.236 B．2 C．2 D．﹣2 4．（2023秋•城关区校级期末）的算术平方根的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．（2024•南充三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3与 B．（﹣1）2与1 C．与 D．﹣（﹣2）与|﹣2| 6．（2023秋•莲湖区校级月考）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根． 7．（2024春•濉溪县校级月考）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当a3+b3＝0时，a+b＝0．由此解决下列问题： （1）若（﹣2.65）3+y3＝0，则y＝　 　； （2）若和互为相反数，且n﹣3的平方根是它本身，则m+n的立方根为 　 　． 题型五 求一个的实数的绝对值 解题技巧提炼 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 1．的绝对值是（　　） A． B． C．± D． 2．（2024春•江夏区期中）已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．（2024春•横州市期末）等于（　　） A． B． C．10 D．﹣10 4．（2024•蓬莱区一模）下列说法中，不正确的是（　　） A．3与﹣3互为相反数 B．﹣3与为倒数 C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣1的绝对值是1 5．填空： （1）的相反数是 　 　，绝对值是 　 ； （2）1的相反数是 　　 ，绝对值是 　 ； （3）若|x|，则x＝　 　． 6．（2024春•南开区期末）a是的绝对值，b是的相反数，则a+b＝　 　． 7．（2023秋•科尔沁区期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e绝对值为2，求的值． 8．（2024春•乌兰察布期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求|m﹣1|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 9．（2024春•易县校级月考）我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： （1）|x﹣3|+|x+1|的最小值为 　 ． （2）的最小值为 　 　． 题型六 实数的大小比较 解题技巧提炼 1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小. 1．（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 2．（2023•沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（　　） A．3 B． C．0 D．2 3．三个数﹣π，﹣3，的大小顺序是（　　） A．﹣3＜﹣π B．﹣π＜﹣3 C．﹣π3 D．﹣3π 4．（2024春•资阳区期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．的平方根是±8 C．无限小数都是无理数 D．若a＜0，﹣1＜b＜0，则ab＞ab2 5．设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，这四个数中（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•双牌县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 7．比较大小：　 　﹣1.5． 8．（2023秋•农安县期中）将数“2，，，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：　 　． 题型七 有关数轴与绝对值的化简 解题技巧提炼 本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符号，再进行合并计算. 1．（2024春•惠州校级月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣π|+|a|的结果为（　　） A．π B．π C．π D．π﹣2 2．（2023秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（　　） A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b 3．（2024春•城厢区校级期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： 　 ． 4．（2023秋•龙岗区校级月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|的结果为 　 　． 5．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a+c||b| 6．（2023春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：|a+b||b﹣c|． 7．（2023秋•亭湖区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）化简：2|a|+|x﹣2|． 8．（2024春•固始县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ； （2）求|m+1|+|m﹣1|的值； （3）数轴上有C、D两点分别表示实数c和d，且有|c﹣5|，求2c+3d的平方根． 题型八 实数非负性的应用 解题技巧提炼 几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值. 1．（2023秋•安岳县期中）若实数x、y满足（y﹣3）2＝0，则等于（　　） A．0 B．5 C．4 D．±4 2．（2024•成都）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　 　． 3．（2024春•滨城区校级月考）若m，n为实数，且|m+1|与互为相反数，则（mn）2023的值为 　 　． 4．（2023春•会昌县期末）已知与（b+27）2互为相反数，求的值． 5．（2023秋•抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）20，求a﹣b+4c的平方根． 6．（2023•新华区校级模拟）已知（a）2与|2b﹣3|互为相反数，求（2a﹣b）c的值． 7．（2023春•江岸区校级月考）已知a、b满足2019|b|，求a2+b2的平方根． 8．（2023春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0． （1）求实数a，b，c的值； （2）求的平方根． 9．（2023春•孟村县期中）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第3章 实数》 3.2 实 数 知识点一 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点二 实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点三 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点四 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 题型一 无理数的识别 解题技巧提炼 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 1．（2024•永修县二模）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．3.14 D．0 【分析】根据立方根，无理数的定义判断即可． 【解答】解：∵，3.14，0是有理数， ∴是无理数， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（2023秋•莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，0.1010010001…，π﹣3.14都是无限不循环小数，它们均为无理数； 是分数，它不是无理数； 故选：B． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024•湖南模拟）在实数，0，，中，无理数是（　　） A． B．0 C． D． 【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【解答】解：是分数，0，4是整式，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：C． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024春•濉溪县期末）在0.121212，，，0，，0.121121112……中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据无理数的概念解答即可． 【解答】解：在0.121212，，，0，，0.121121112……中，无理数有，，0.121121112……，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 5．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．1.5 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：C． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 6．（2024春•无为市期末）在下列各数：﹣4，，，4π，0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：含有π的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）． 【解答】解：无理数有；（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数），共3个， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的概念，常见无理数的形式是解题的关键． 7．下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数； ②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根； ④3的平方根是； ⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断①②；根据平方根，可判断③④⑤． 【解答】解：①无限循环小数是有理数，故①错误； ②无限不循环小数是无理数，故②错误； ③0的平方根是0，故③错误； ④3的平方根是±，故④错误； ⑤±，故⑤正确， 故选：D． 【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数． 8．（2023秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答． 【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4， 是无理数，有2个，即b＝2， 则a﹣b＝4﹣2＝2． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断． 题型二 实数的分类 解题技巧提炼 本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数. 1．（2024春•濉溪县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．实数包括正有理数、负有理数和无理数 B．无限小数是无理数，有限小数是有理数 C．有理数运算法则和运算律适合实数运算 D．有理数和无理数之间不可以大小比较 【分析】根据实数的定义、有理数和无理数的定义逐项判断即可得出答案， 【解答】解：A、实数包括有理数和无理数，故原说法错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意； C、有理数运算法则和运算律适合实数运算，故原说法正确，符合题意； D、有理数和无理数之间可以大小比较，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数，有理数和无理数的定义，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 2．（2024春•楚雄州期末）下列各数中，属于正整数的是（　　） A．0 B． C．1 D． 【分析】根据实数的分类进行判断即可． 【解答】解：0既不是正数，也不是负数；是无理数；1是正整数；是正分数， 故选：C． 【点评】本题考查实数的分类，有理数和无理数统称实数． 3．（2023秋•社旗县期末）实数，，0，﹣1中，为负整数的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【分析】根据实数的分类进行解答即可． 【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键． 4．（2024春•河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据无理数，立方根，平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：①无限不循环小数都是无理数，故①不正确； ②无理数不一定是带根号的数，例如：是有理数，故②不正确； ③负数有立方根，故③不正确； ④的平方根是±2，故④不正确； ⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数，故⑤正确； 所以，上列说法中正确的有1个， 故选：B． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握无理数，立方根，平方根的意义是解题的关键． 5．（2023春•夏津县期末）下列说法中错误的是（　　） A．是整数 B．是有理数 C．是分数 D．的立方根是无理数 【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答． 【解答】解：A、∵3， ∴是整数， 故A不符合题意； B、是有理数，故B不符合题意； C、是无理数，不是分数，故C符合题意； D、∵3，3的立方根是，是无理数， ∴的立方根是无理数， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键． 6．（2023秋•玄武区校级月考）下列数：6，﹣3.14，，0，，0.，，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 　 　；属于负分数集合的有 　 　；属于无理数的有 　 　． 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 【解答】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有﹣3.14，； 属于无理数的有，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；﹣3.14，；，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0）． 【点评】本题考查实数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（2023秋•温州期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②0，③，④，⑤，⑥4.131． 整数：　 　； 分数：　 　； 无理数：　 　． 【分析】正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环小数叫做无理数；据此判断即可． 【解答】解：， 整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤． 故答案为：②④；③⑥；①⑤． 【点评】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 8．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，，，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1） 【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 9．（2024春•沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可． 【解答】解：整数集合：②③． 负分数集合：⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④． 【点评】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数． 题型三 实数和数轴的关系 解题技巧提炼 根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小. 1．（2023秋•新乡期末）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A．2.3 B． C． D． 【分析】根据点P表示的数为无理数，即可排除选项A，再根据、和的估计值，即可判断出点P的无理数的可能表示数． 【解答】解：∵2.3 是有理数，1.414，1.732，2.236， 由图可知，点P表示的数为无理数，且2＜P＜3， ∴点P表示的无理数可能是， 故选：D． 【点评】本题考查的是数轴与无理数，掌握、和的估计值是解题的关键． 2．（2023春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可． 【解答】解：∵1＜a＜2， ∴﹣2＜﹣a＜﹣1， ∵﹣a＜b＜a， ∴b只能是﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围． 【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小． 3．（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b| 【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否． 【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意； B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意； C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意； D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键． 4．（2023春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可． 【解答】解：设C点表示的数为x，则 1， 解得x＝2． 故选：D． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 5．（2024春•齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 　 　（填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【分析】首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案． 【解答】解：设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是xA，xB，xC，xD， 则﹣2＜xA＜﹣1，0＜xB＜1，2＜xC＜3，xD＞3， ∵9＜11＜16， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 6．（2024•兴庆区校级一模）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 　 　． 【分析】根据题意可知，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，可得：点C表示的数为：1，CD＝AC，则点A表示的数为：11﹣2，又因为点C到原点的距离等于线段AB的长，则AB1，因此点B表示的数为：1﹣21． 【解答】解：∵点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD， ∴点C表示的数为：1，CD＝AC， ∴点A表示的数为：11﹣2， ∵点C到原点的距离等于线段AB的长， ∴AB1， ∴点B表示的数为：1﹣21， 故答案为：． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 7．（2023秋•邢台期中）如图，有一个半径为个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 　 　；若点B表示的数是，则点B在点A'的 　 （填“左边”、“右边”）． 【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA′＝π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；比较﹣π与的大小即可求解． 【解答】解：∵圆的周长为π×2π， ∴OA′＝π， 故A′点表示的数是﹣π， ∵（﹣π）2≈9.8282，（）2＝10， ∴﹣π， ∴点B在点A′的左边． 故答案为：﹣π；左边． 【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 8．（2024春•东城区期末）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O．该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为 　 ． 【分析】当点A第一次落在数轴上时，此时点A离原点的距离等于一个直径和二分之一的半圆弧长之和，据此可得点A表示的数． 【解答】解：由题可得，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为44+π， 故答案为：4+π． 【点评】本题考查数轴表示数的意义，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．确定符号和绝对值是确定实数的两个方面． 9．把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来： 3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，． 【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系． 【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4， 用数轴表示为： ， 它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）3． 10．（2023秋•西安月考）如图，已知实数，﹣1，，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D． （1）求点C与点D之间的距离； （2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案； （2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得， 点C与点D之间的距离为3； （2）根据题意可得， a＝|﹣1|，b＝3， a﹣b1﹣（3）＝24． 【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键． 题型四 求一个实数的相反数 解题技巧提炼 求一个实数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 1．（2024•宁波模拟）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相反数的定义直接得到的相反数是． 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义：a的相反数为﹣a． 2．（2024春•邵东市期中）已知ab＝1，若a＝2024，则b的相反数是（　　） A．﹣2024 B． C． D． 【分析】直接利用实数的性质得出b的值，再利用互为相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵ab＝1，a＝2024， ∴b， ∴b的相反数是． 故选：B． 【点评】此题主要考查了实数的性质以及互为相反数，正确得出b的值是解题关键． 3．（2023春•潮南区期中）的相反数是（　　） A．﹣0.236 B．2 C．2 D．﹣2 【分析】根据相反数的定义即可得出结论． 【解答】解：2的相反数是2． 故选C． 【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键． 4．（2023秋•城关区校级期末）的算术平方根的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】先求得的值，然后再利用算术平方根和相反数的定义求解即可． 【解答】解：4， 4的算术平方根是2． 2的相反数是﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质、相反数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．（2024•南充三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3与 B．（﹣1）2与1 C．与 D．﹣（﹣2）与|﹣2| 【分析】根据相反数的概念及性质即可解答． 【解答】解：A、30，不符合相反数的定义，故选项错误； B、（﹣1）2＝1与1不互为相反数，故选项错误； C、与互为相反数，故选项正确； D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|不互为相反数，故选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 6．（2023秋•莲湖区校级月考）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根． 【分析】根据立方根和相反数的意义先求出﹣2a与3b的关系，再整体代入求出3﹣6a+9b的平方根． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴0． ∴． ∴1﹣3b＝﹣（2a+1）． ∴﹣2a+3b＝2． ∴3﹣6a+9b ＝3+3（﹣2a+3b） ＝3+3×2 ＝9． ∵9的平方根是±3， ∴3﹣6a+9b的平方根是±3． 【点评】本题考查了平方根的计算，掌握相反数的意义、立方根的性质是解决本题的关键． 7．（2024春•濉溪县校级月考）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当a3+b3＝0时，a+b＝0．由此解决下列问题： （1）若（﹣2.65）3+y3＝0，则y＝　 　； （2）若和互为相反数，且n﹣3的平方根是它本身，则m+n的立方根为 　 　． 【分析】（1）根据题意可知﹣2.65与y互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出7+4m+4﹣3m＝0，解方程即可得出m的值，根据平方根是它本身的数为0，求出n的值，从而得出m+n的值，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知﹣2.65与y互为相反数， 故y＝2.65， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得7+4m+4﹣3m＝0， 解得m＝﹣11． ∵n﹣3的平方根是它本身， ∴n﹣3＝0， 解得n＝3． ∴m+n＝﹣11+3＝﹣8， ∴m+n的立方根为， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是实数的性质，涉及到相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型五 求一个的实数的绝对值 解题技巧提炼 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 1．的绝对值是（　　） A． B． C．± D． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：||． 故选：A． 【点评】本题考查的是绝对值，熟知一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 2．（2024春•江夏区期中）已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据题意得到a的值，再代入代数式计算即可． 【解答】解：∵一个数a的绝对值是， ∴a， ∴235或﹣23． 故选：C． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的性质是关键． 3．（2024春•横州市期末）等于（　　） A． B． C．10 D．﹣10 【分析】运用绝对值的性质进行求解、辨别． 【解答】解：∵0， ∴， 故选：A． 【点评】此题考查了实数绝对值的求解能力，关键是能准确理解并运用绝对值的性质． 4．（2024•蓬莱区一模）下列说法中，不正确的是（　　） A．3与﹣3互为相反数 B．﹣3与为倒数 C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣1的绝对值是1 【分析】根据相反数，倒数，立方根，绝对值的定义逐项进行判断即可，要注意选择的是“不正确项”． 【解答】解：A、3与﹣3互为相反数，正确，不符合题意； B、﹣3与为倒数，原说法错误，符合题意； C、﹣1的立方根是﹣1，正确，不符合题意； D、﹣1的绝对值是1，正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数，倒数，立方根，绝对值的定义． 5．填空： （1）的相反数是 　 　，绝对值是 　 ； （2）1的相反数是 　　 ，绝对值是 　 ； （3）若|x|，则x＝　 　． 【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）的相反数是，绝对值是； （2）1的相反数是1，绝对值是1； （3）∵|x|， ∴x． 故答案为：（1），； （2）1，1； （3）． 【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于的数有2个是解题的关键． 6．（2024春•南开区期末）a是的绝对值，b是的相反数，则a+b＝　 　． 【分析】根据绝对值、相反数的定义求出a、b的值，然后计算a+b即可． 【解答】解：∵a是的绝对值， ∴a， ∵b是的相反数， ∴b， ∴a+b0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值、相反数的定义是解题的关键． 7．（2023秋•科尔沁区期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e绝对值为2，求的值． 【分析】根据相反数、倒数的定义和绝对值的性质得到ab＝1，c+d＝0，e＝±2，进而代值求解即可． 【解答】解：由题意可知ab＝1，c+d＝0，|e|＝2， 则e＝±2， 当e＝2时，原式， 当e＝﹣2时，原式， ∴原式为或． 【点评】本题考查代数式求值，涉及倒数、相反数、绝对值，理解相反数、倒数的定义和绝对值的性质是解答的关键． 8．（2024春•乌兰察布期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求|m﹣1|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值； （2）根据数轴得到m的取值范围，去绝对值化简即可得到答案； （3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴m， 故答案为：； （2）由数轴可知：0＜m＜1， ∴m﹣1＜0，1﹣m＞0， ∴|m﹣1|﹣|1﹣m|＝1﹣m﹣（1﹣m）＝0； （3）由|2c+4|与互为相反数，可得， 又|2c+4|，均为非负数，故2c+4＝0且d﹣4＝0， 即c＝﹣2，d＝4， 所以2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16，所以2c+5d的平方根为±4． 【点评】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 9．（2024春•易县校级月考）我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： （1）|x﹣3|+|x+1|的最小值为 　 ． （2）的最小值为 　 　． 【分析】（1）|x﹣3|+|x+1|表示x在数轴上对应的点到3的距离和到﹣1的距离的和，由两点之间线段最短，可得当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|的值最小，即可求解； （2）表示x在数轴上对应的点到2的距离、到﹣4的距离以及到的距离的和，结合（1）可知，当时，有最小值，求解即可． 【解答】解：（1）∵|x﹣3|+|x+1|表示x在数轴上对应的点到3的距离和到﹣1的距离的和， ∴当x在﹣1和3之间包括﹣1、3时有最小值，即3﹣（﹣1）＝4； 故答案为：4； （2）表示x在数轴上对应的点到2的距离、到﹣4的距离以及到的距离的和， ∵﹣42，0， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：6． 【点评】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，正确理解距离公式是解题关键． 题型六 实数的大小比较 解题技巧提炼 1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小. 1．（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案． 【解答】解：∵﹣1＜0＜1， ∴在实数1，﹣1，0，中，最大的数是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则． 2．（2023•沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（　　） A．3 B． C．0 D．2 【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解． 【解答】解：在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是． 故选：B． 【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． 3．三个数﹣π，﹣3，的大小顺序是（　　） A．﹣3＜﹣π B．﹣π＜﹣3 C．﹣π3 D．﹣3π 【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可． 【解答】解：﹣π≈﹣3.14，1.732， 因为3.14＞3＞1.732． 所以﹣π＜﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小． 4．（2024春•资阳区期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．的平方根是±8 C．无限小数都是无理数 D．若a＜0，﹣1＜b＜0，则ab＞ab2 【分析】利用实数的相关概念及平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，a＞b，而，则A不符合题意； 8，其平方根为±±2，则B不符合题意； 无限不循环小数是无理数，则C不符合题意； 若a＜0，﹣1＜b＜0，那么ab＞0，ab2＜0，故ab＞ab2，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查实数及平方根，熟练掌握相关概念及定义是解题的关键． 5．设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，这四个数中（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴0＜a2＜a1，1， ∴a＞a2． 故选：D． 【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键． 6．（2023秋•双牌县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较． 【解答】解：A、∵，∴，故本选项正确； B、∵，，6，5，∴，∴，故本选项错误； C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确； D、∵3，∴3，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 7．比较大小：　 　﹣1.5． 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：3，（﹣1.5）2＝2.25， ∵3＞2.25， ∴1.5． 故答案为：＜． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小． 8．（2023秋•农安县期中）将数“2，，，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：　 　． 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵2，1.57＞﹣1.6， ∴﹣1.602， 故答案为：﹣1.602． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小． 题型七 有关数轴与绝对值的化简 解题技巧提炼 本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符号，再进行合并计算. 1．（2024春•惠州校级月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣π|+|a|的结果为（　　） A．π B．π C．π D．π﹣2 【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，a，再运算绝对值即可求解． 【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3， ∴|a﹣π|+|a|＝π﹣a+aπ， 故选：B． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，会比较实数的大小，准确地计算绝对值是解题的关键． 2．（2023秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（　　） A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b 【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：a＜b＜0， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b||a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b． 故选：C． 【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意|a|． 3．（2024春•城厢区校级期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： 　 ． 【分析】先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可． 【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，且|c|＞|b|， ∴b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴原式＝﹣a+b+b+c﹣b﹣c+a＝b； 故答案为：b． 【点评】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 4．（2023秋•龙岗区校级月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|的结果为 　 　． 【分析】先利用数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再利用绝对值和立方根的性质得原式＝﹣（a+b）+（﹣a）+b，然后去括号后合并即可． 【解答】解：根据题图可知：a＜0＜b，且|b|＜|a|， ∴a+b＜0， ∴ ＝﹣（a+b）+（﹣a）+b ＝﹣a﹣b﹣a+b ＝﹣2a， 故答案为：﹣2a． 【点评】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，绝对值和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质． 5．实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a+c||b| 【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案． 【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0， 则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b ＝b． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键． 6．（2023春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：|a+b||b﹣c|． 【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解． 【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0， 原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c） ＝b． 【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键． 7．（2023秋•亭湖区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）化简：2|a|+|x﹣2|． 【分析】（1）一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此列出（2a﹣1）+（﹣a+2）＝0，即可求出a和x的值； （2）把a、x的值代入，根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：（1）由题意，得（2a﹣1）+（﹣a+2）＝0， 解得a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9； （2）2|a|+|x﹣2| ＝7． 【点评】本题考查了实数的性质，平方根，熟练掌握平方根和绝对值的性质是解题的关键． 8．（2024春•固始县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ； （2）求|m+1|+|m﹣1|的值； （3）数轴上有C、D两点分别表示实数c和d，且有|c﹣5|，求2c+3d的平方根． 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知m+1＞0、m﹣1＜0，再利用绝对值的性质化简绝对值，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入2c+3d，进而求其平方根． 【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ∴点B表示 ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴，， ∴|m+1|+|m﹣1| ＝m+1﹣（m﹣1） ＝m+1﹣m+1 ＝2． （3）∵， ∴c﹣5＝0，d+2＝0， ∴c＝5，d＝﹣2， ∴2c+3d＝2×5+3×（﹣2）＝4， ∵4的平方根为±2， ∴2c+3d的平方根是±2． 【点评】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型八 实数非负性的应用 解题技巧提炼 几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值. 1．（2023秋•安岳县期中）若实数x、y满足（y﹣3）2＝0，则等于（　　） A．0 B．5 C．4 D．±4 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（y﹣3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y﹣3＝0， 解得x＝2，y＝3， ∴4， 故选：C． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．（2024•成都）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　 　． 【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵m，n为实数，且（m+4）20， ∴m+4＝0，n﹣5＝0， 解得m＝﹣4，n＝5， ∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（2024春•滨城区校级月考）若m，n为实数，且|m+1|与互为相反数，则（mn）2023的值为 　 　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|m+1|和互为相反数， ∴|m+1|0， ∴m+1＝0，n﹣1＝0， ∴m＝﹣1，n＝1， ∴（mn）2023＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘方计算，非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 4．（2023春•会昌县期末）已知与（b+27）2互为相反数，求的值． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵与（b+27）2互为相反数， ∴（b+27）2＝0， ∴a﹣16＝0，b+27＝0， 解得a＝16，b＝﹣27 ∴4+3＝7． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 5．（2023秋•抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）20，求a﹣b+4c的平方根． 【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c计算求出的值，最后根据平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）20， ∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0， 解得a＝±1，b＝2，c＝3， ∴2A﹣B 又∵|a|+a＝0， ∴a＝﹣1， ∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9， ∴a﹣b+4c的平方根是±3． 【点评】此题主要考查了非负数的性质和平方根的的定义，解答此题的关键是能够根据非负数的性质正确求出a、b、c的值． 6．（2023•新华区校级模拟）已知（a）2与|2b﹣3|互为相反数，求（2a﹣b）c的值． 【分析】本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性． 【解答】解：∵（a）2与|2b﹣3|互为相反数， ∴（a）2+|2b﹣3|0 ∴a0，2b﹣3＝0，c﹣5＝0， ∴a，b，c＝5． ∴（2a﹣b）c＝（﹣1）5＝﹣1． 【点评】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，计算要准确． 7．（2023春•江岸区校级月考）已知a、b满足2019|b|，求a2+b2的平方根． 【分析】直接利用算术平方根的性质得出a的值，再利用绝对值的性质得出b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵有意义， ∴﹣（4+a）2≥0， 则4+a＝0， 解得：a＝﹣4， 故2019|b|＝0， 解得：b， 则a2+b2＝16+3＝19， 故a2+b2的平方根为：±． 【点评】此题主要考查了实数的性质以及二次根式的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 8．（2023春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0． （1）求实数a，b，c的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）直接利用非负数的性质结合偶次方的性质、绝对值的性质、算术平方根的性质得出a，b，c的值； （2）直接利用平方根定义得出答案． 【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|0， ∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0， 解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5； （2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5， 则 ＝4， 故的平方根为：±2． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质得出a，b，c的值是解题关键． 9．（2023春•孟村县期中）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2． （1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16， ∴2a﹣3b的平方根为±4． （2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9， 解得x＝±3． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$