3.4实数的运算（题型专练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第3章 实数》 3.4 实数的运算 知识点一 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 知识二 用计算器进行实数计算 我们可以用计算器进行实数的运算；近似计算时按题目的要求 将用计算器算得的结果取近似值。 （1）用计算器求一个数的算术平方根的步骤：①先按键； ②然后按 键； ③再输入要开平方的数； ④最后按键显示结果。如求√3 的操作是。 （2）用计算器求一个数的立方根的步骤： ①先按键； ②然后按键； ③再输入需要开立方的数； ④最后按 键显示结果。如求的操作是 。 题型一 实数的混合运算 解题技巧提炼 实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 1．（2024春•开福区校级期末）计算：． 【分析】原式先计算乘方和立方根以及化简绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键． 2．（2024春•中山市期末）计算：． 【分析】先算算术平方根，立方根以及绝对值，再算加减法，即可求解． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查实数的混合运算．熟练掌握实数运算法则是关键． 3．（2024春•新兴县期末）计算：． 【分析】先计算绝对值，立方根，算术平方根，再合并即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是关键． 4．（2024春•崇阳县期末）计算：． 【分析】根据实数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 5．（2024春•潮州期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘方、算术平方根、立方根分别计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握有理数的乘方、算术平方根、立方根的运算法则是解题的关键． 6．（2023秋•江都区月考）计算： （1）； （2）|1|+（﹣2）2． 【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算； （2）利用绝对值的定义，乘方运算计算． 【解答】解：（1） ＝1+（﹣2） ＝1﹣2 ； （2）|1|+（﹣2）2 1+4 ＝3． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，乘方运算． 7．（2024•渝中区校级开学）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算乘方和开平方，然后计算除法，最后计算加法，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） ＝﹣16+8（﹣1） ＝﹣16+4+1 ＝﹣11． （2） （） （） ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 8．（2023秋•宿迁期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根和平方，再计算加减； （2）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1） ＝2+2+3 ＝7； （2） ＝4+23 ． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 9．（2024春•兖州区校级期末）（1）； （2）． 【分析】（1）首先计算开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算乘方、开平方和开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） ＝5+23 ＝7+2． （2） ＝3（﹣3）+1 ＝3+1+1 ＝5． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 10．（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）； （2）|3|． 【分析】（1）先按照求立方根、求平方根的法则化简，再进行实数的加减运算即可； （2）先按照求平方根、求立方根、绝对值的化简法则计算，再合并同类项及同类二次根式即可． 【解答】解：（1） 2 ＝﹣2； （2）|3| 5+3 ． 【点评】本题考查了求平方根、求立方根、绝对值的化简等实数运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型二 程序图与实数的运算 解题技巧提炼 根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答. 1．（2023春•江州区期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据数值转换器规定的运算计算即可． 【解答】解：当输入x＝1时， 第一次：，不是有理数； 第二次：，不是有理数； 第三次：4，是有理数， ∴y＝4； 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练掌握实数相关运算法则． 2．（2023春•铁东区校级月考）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C． D． 【分析】把64按给出的程序逐步计算即可． 【解答】解：由题中所给的程序可知：把81取算术平方根，结果为9， 因为9是有理数，所以再取算术平方根，结果为3， 因为3是有理数，所以再取算术平方根，结果为，是无理数，故y． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，实数的分类．解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8， 因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2， 因为﹣2是有理数，所以再取立方根为， 因为是无理数，所以输出． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序． 4．（2023秋•海曙区校级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝81时，输出的y等于（　　） A．3 B．9 C． D． 【分析】将81 代入得9，9是有理数，再将9代入得3，3是有理数，再将3代入得，是无理数，故y． 【解答】解：∵，9是有理数， ∴，3是有理数， ∴，， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根，关键是根据题意求出值，再判断其是否为无理数． 5．有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的x为﹣512时，输出的y是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】根据题意得，当x＝﹣512时，8，﹣8是有理数，将﹣8作为输入值重新计算，当x＝﹣8时，2，﹣2是有理数，将﹣2作为输入值重新计算，当x＝﹣2时，﹣2的立方根是无理数，由此即得答案． 【解答】解：根据题意得，当x＝﹣512时，8，﹣8是有理数，将﹣8作为输入值重新计算； 当x＝﹣8时，2，﹣2是有理数，将﹣2作为输入值重新计算； 当x＝﹣2时，立方根是，是无理数，则输出值为． 故选：D． 【点评】本题是一道关于立方根的题目，熟练掌握立方根的求法是解答题目的关键所在． 6．（2024春•北京期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是 　 　． 【分析】把625按给出的程序逐步计算即可． 【解答】解：由题中所给的程序可知：把625取算术平方根，结果为25， 因为25是有理数，所以再取算术平方根为5， 因为5是有理数，再取算术平方根为． 故答案为：． 【点评】本题考查了算术平方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序． 7．（2023•海东市二模）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x为64时，则输出y的值是 　 　． 【分析】由图中的程序知：输入x的值后，当是无理数时，y；若的值是有理数，将的值再取算术平方根，直至输出的结果为无理数，也就求出了y的值． 【解答】解：由题意，得：x＝64时，8， 8是有理数，将8的值代入x中； 当x＝8时，2，2是无理数， 故y的值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了代数式的求值，弄清程序的计算方法是解答此类题的关键． 8．有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 　 ． 【分析】本题要先取x的平方根，再求绝对值，再求绝对值的算术平方根，判断算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算，据此可完成解答． 【解答】解：∵±±16，|±16|＝16，4，4为有理数， ∴把4输入，4的平方根是±±2，|±2|＝2，2的算术平方根为，是无理数， ∴输出的y是． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，数值转换器，解题关键是正确理解数值转换器的原理． 9．（2023秋•新化县期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 　 　． 【分析】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可． 【解答】解：第1次计算得，4，而4是有理数， 因此第2次计算得，2，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． 题型三 新定义与实数的运算 解题技巧提炼 根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答. 1．（2024春•沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定a＄b＝a2ab2（b≥0）．则2＄4＝（　　） A．32 B．36 C．68 D．64 【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2＄4＝22×2×42＝2×2+2×2×16＝4+64＝68， 故选：C． 【点评】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 2．（2024春•东港区校级月考）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么※2＝　 　． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：※2＝2×3+2＝6+2＝8． 故答案为：8 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•新都区期末）用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝12−4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝　 ． 【分析】根据新运算列式计算即可． 【解答】解：原式＝5&[（﹣2）2﹣3×（﹣2）] ＝5&（4+6） ＝5&10 ＝102﹣5×10 ＝100﹣50 ＝50， 故答案为：50． 【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．（2023•滕州市校级开学）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2﹣b2，则（4☆3）☆13＝　 　． 【分析】利用新定义的规定列出算式运算即可． 【解答】解：原式＝（42﹣32）☆13 ＝（16﹣9）☆13 ＝7☆13 ＝72﹣132 ＝49﹣169 ＝﹣120． 故答案为：﹣120． 【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，正确利用新定义的规定列出算式是解题的关键． 5．（2023春•永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝　 　． 【分析】根据定义运用算术平方根进行代入、计算． 【解答】解：由题意得， 2★12， ∴（2★1）★7 ＝2★7 ＝4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了算术平方根求解方面新定义问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该定义和相关知识进行求解． 6．（2024春•禹州市月考）对于任意的正数x、y定义运算⊗为：，计算（3⊗2）+（12⊗18）的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据定义新运算的公式分别计算3⊗2，12⊗18，然后再代入计算即可． 【解答】解：∵3＞2，12＜18， ∴，， ∴（3⊗2）+（12⊗18） 故选：A． 【点评】本题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键． 7．（2023•广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 　 　． 【分析】利用新定义的规定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可． 【解答】解：∵2※（﹣2）＝1， ∴1， ∴x﹣y＝2． ∴（﹣3）※3 （x﹣y） 2 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 8．（2023•滕州市校级开学）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2﹣b2，则（4☆3）☆13＝　 　． 【分析】利用新定义的规定列出算式运算即可． 【解答】解：原式＝（42﹣32）☆13 ＝（16﹣9）☆13 ＝7☆13 ＝72﹣132 ＝49﹣169 ＝﹣120． 故答案为：﹣120． 【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，正确利用新定义的规定列出算式是解题的关键． 9．（2023春•永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝　 　． 【分析】根据定义运用算术平方根进行代入、计算． 【解答】解：由题意得， 2★12， ∴（2★1）★7 ＝2★7 ＝4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了算术平方根求解方面新定义问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该定义和相关知识进行求解． 10．（2023春•綦江区期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数例如，那么的运算结果是：　 　． 【分析】利用新运算的规定先算括号内的，再算括号外的即可． 【解答】解：原式•（） •4 ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新运算的规定并熟练应用是解题的关键． 题型四 实数运算的实际应用 解题技巧提炼 实数的实际应用主要是根据题意找到数量关系，然后利用算术平方根以及立方根的性质进行计算即可解答. 1．（2023春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（cm）， 则原来正方体钢铁的棱长为 cm． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 2．（2024春•沂水县校级月考）如图，若正方形的面积为100cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：3，他能裁出符合要求的纸片吗？若能，请求出该长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理由． 【分析】设长方形的长为5x cm，宽为3x cm，分别求出长方形的长和正方形的边长，再比较大小即可得． 【解答】解：设长方形的长为5x cm，宽为3x cm， 由题意得，5x•3x＝90， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ∵正方形的面积为100cm2， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴不能裁出长和宽之比为5：3的长方形． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题关键． 3．（2024春•城厢区校级期中）一块长方形空地面积为2800平方米，其长宽之比为7：4． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为2：1），花坛的总面积为2166平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【分析】（1）设长为7x m，宽为4x m，根据长方形空地面积为2800平方米，列出方程，求出长和宽，再利用周长公式进行计算即可； （2）设花坛2的宽为a m，则花坛1的边长和花坛2的长均为2a m，根据花坛的总面积为2166平方米，列出方程，求出a的值，进行判断即可． 【解答】解：（1）∵长方形的长和宽之比为7：4， ∴设长为7x m，宽为4x m， 由题意，得：7x•4x＝2800， ∴x2＝100， ∴x＝10或x＝﹣10（舍去）； ∴长为70m，宽为40m ∴长方形的周长为2×（70+40）＝220m； （2）设花坛2的宽为a m，则花坛1的边长和花坛2的长均为2a m， 由题意，得：（2a）2+2a•a＝2166， ∴6a2＝2166， ∴a＝19或a＝﹣19（舍去）； ∴花坛1边长为38m，花坛2长为38m，宽为19m ∵40﹣38＝2＜2.5 ∴不能正常通行． 【点评】本题考查算术平方根的实际应用，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 4．（2024春•平坝区月考）小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求此长方形信封的长和宽． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【分析】（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，根据面积为420cm2列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【解答】解：（1）∵信封的长、宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得3x•2x＝420， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）正方形贺卡的边长是16cm， ∵70＞64， ∴， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． 5．（2024春•思明区期末）依依需要一块长、宽比为6：5且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按如图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计） （1）缝合后大正方形的边长为 　 米； （2）依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由． 【分析】（1）根据算术平方根的定义以及正方形的面积的计算方法进行计算即可； （2）求出长方形的长、宽，再估算无理数的大小，比较长方形的长与的大小即可． 【解答】解：由2个边长为9米的正方形通过裁剪拼成一个大正方形，因此大正方形的面积为9×9×2＝162（平方米）， 所以它的边长为9（米）， 故答案为：9； （2）设长方形舞台幕布的长为6a米，则宽为5a米，由题意得， 6a•5a＝120， 解得a＝2或a＝﹣2＜0舍去， 所以长方形的长为12米，宽为10米， ∵， ∴1213， 即12＜913， ∴能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 6．（2024春•仓山区校级月考）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【分析】先求出正方形的边长为8m，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【解答】解：方案一可行． ∵正方形木板的面积为64m2， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着EF裁剪， ∵BC＝EF＝8m， ∴只要使BE＝CF＝60÷8＝7.5（m）就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为4x m、宽为3x m， 则4x•3x＝60，即12x2＝60， 解得（负值已舍去）， ∴所裁长方形的长为， ∵， ∴所裁长方形的长大于正方形的边长， ∴方案二不可行． 【点评】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小．正确记忆相关知识点是解题关键． 题型五 与实数相关的规律探究题 解题技巧提炼 首先根据已知数的特征归纳总结出这一列数变化规律,然后利用规律来解决问题是解题的关键． 1．（2023春•集美区校级期中）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数． 【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根， ∵2021÷3＝673…2， ∴这一列数中的第2021个数应是， 故选：A． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 2．（2024•东昌府区一模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：1，3； 第2组：5，7，9，11； 第3组：13，15，17，19，21，23； 第4组：25，27，29，31，33，35，37，39； 现用（m，n）表示第m组从左往右数第n个数，则（21，5）表示的数是 　 　． 【分析】根据已知条件数字的排列找到规律，用含m的代数式表示出第m组最后一个数，判断出第20组最后一个奇数，进而可得答案． 【解答】解：依题意，得：第m组中奇数的个数为2m个， ∴第m组最后一个奇数为， ∴当m＝20时，第20组最后一个奇数为2×20×21﹣1＝839， 当m＝21时，第21组从左往右奇数依次是为841，843，845，847，849，…， 则（21，5）表示的数是849． 故答案为：849． 【点评】本题考查数字类规律的探究，找到数字类规律是关键． 3．（2023春•海拉尔区期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第101个数是 　 　． 【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可． 【解答】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， 第5个数是， 第6个数是， …… 第n个数是， ∴当n＝101时， ∴第101个数是． 故答案为：． 【点评】本题考查探究数字规律，根据已知数归纳总结出这一列数变化规律是解题的关键． 4．（2023•潮安区模拟）将1、、、按如图所示方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，6）表示的数是 　 　． 【分析】根据题中的规律确定出第6排和第7排的数字，即可求出所求． 【解答】解：根据题中的规律得： 第6排的数字为：，1，，，，1， 第7排的数字为：，，，1，，，， ∵第7排从左往右第6个数为， ∴（7，6）表示的数为． 故答案为：． 【点评】此题考查了算术平方根，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 5．（2023春•浦北县校级月考）观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是 　 　． 【分析】被开方数的规律是2、5、8、11、14、17……，从而可知第n个数的被开方数是3n﹣1， 【解答】解：根据规律可知第n个数为， 故答案为：． 【点评】本题考查数字的变化规律，解题的关键是正确找出题中的规律，本题属于基础题型． 6．（2023春•重庆期中）仔细观察下列等式：，2，3，4，…按此规律，第n个等式是　 　． 【分析】根据被开方数的变化规律即可求解． 【解答】解：第一个等式为， 第二个等式为； 第三个等式为， 第四个等式为， ..． 第n个等式是． 故答案为：． 【点评】本题考查了算术平方根，根据题意发现被开方数的变化规律是解答本题的关键． 题型六 用计算器开方 1．（2023•汇川区三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A． B． C． D． 【分析】首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果． 【解答】解：根据计算器的相关知识，可知答案为A． 故选：A． 【点评】本题考查计算器—数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键． 2．（2023•烟台一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A．23 B．32 C． D． 【分析】根据按键的顺序即可得出算式． 【解答】解：根据按键顺序可知算式为． 故选：C． 【点评】本题考查了科学计算器的使用与平方根，掌握“2ndF”与“立方根”键组合表示求一个数的立方根是关键． 3．（2024•广饶县一模）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器面板显示的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．4 【分析】根据算术平方根进行求解即可． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了科学计算器的使用，求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 4．（2023秋•稷山县期中）在计算器上按键显示的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．33 【分析】首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学计算器进行计算． 【解答】解：在计算器上按键 是在计算8，结果为﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 5．（2023秋•牟平区期末）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果． 【解答】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是：． 故选：D． 【点评】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键． 6．（2024春•潍城区期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（　　） A．计算，按键： B．计算，按键： C．计算，按键： D．计算，按键： 【分析】根据利用科学计算器求平方根和立方根的方法，对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：求 的按键顺序是：，（，2，÷，3，），故选项A不正确，不符合题意； 求的按键顺序是：，3，+，1，故选项B正确，符合题意； 求的按键顺序是：2nd F，，﹣，2，故选项C不正确，不符合题意； 求的按键顺序是：2nd F，，1，．，2，故选项D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用计算器求平方根和立方根，熟练掌握科学计算器的使用方法是解决问题的关键． 7．（2024春•斗门区期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　） A． B． C． D． 【分析】观察屏幕显示的结果，要想显示第十位的数字，先减去个位数字1，再扩大10倍可得出． 【解答】解：根据题意得：计算时屏幕显示的结果为1.7320508， 想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算10（1）的值． 故选：B． 【点评】此题考查了计算器﹣数的平方，熟练掌握计算器的使用方法是解本题的关键． 题型七 用计算器开方探究规律 1．（2023•开远市二模）如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【解答】解：由题意知第1步结果为52＝25， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为0.22＝0.04， 第5步结果为25， 第6步计算结果为5， 第7步计算结果为52＝25， …… ∴运算的结果以25、、、、25、5六个数为周期循环， ∵2020÷6＝336……4， ∴第2020步之后显示的结果为． 故选：C． 【点评】题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据计算结果得出数字的循环规律． 2．（2024春•铜梁区期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据a（a＞0），经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】通过计算找到数字的变化规律，分析每个说法是否正确． 【解答】解：①若开始输入的数据为2，第1步操作的结果是4，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，第4步操作的结果是，第5步操作的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），按照该步骤操作，每次显示的结果依次是：a2、、、、a2、a、⋯，每6次操作的结果是一个循环；因为2025÷6＝337⋯⋯3，因此第2025步操作之后的结果与第3次相同，为； ③根据②的分析，当输入a时，经过若干步操作后，得到的结果有4种情况：a2、、、a，可计算出a有4种不同的值； 综上，正确的个数是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律、计算器的应用等有关内容，关键在于找到数字的变化规律：当输入a时，每次显示的结果依次是：a2、、、、a2、a、⋯，每6次操作的结果是一个循环． 3．（2024春•安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）＝　 　． 【分析】根据题意可得规律（n个3，n个4）的值为555…5（n个5），据此规律求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n个3，n个4）的值为555…5（n个5）， ∴（2024个3，2024个4）的值为555…5（2024个5）， 故答案为：555…5（2024个5）． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，掌握规律是解题的关键． 4．（2023春•淮南期中）计算器上的三个按键x2、、的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 　 ． 【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【解答】解：输入一个数﹣2后， 第一步的结果为（﹣2）2＝4， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为22＝4， 由此可知，运算的结果六步为一个周期， ∴2023÷6＝337⋯1， ∴第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 5．我们把左右数字排列对称的自然数叫作回文数．请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的（可借助计算器）： （1）121＝　 　2； （2）14641＝　 2； （3）12321＝　 2； （4）123454321＝　 　 2； （5）123456787654321＝　 　2； （6）40804＝　 　2； （7）44944＝　 　2． 【分析】利用计算器对相应的数进行开方运算即可． 【解答】解：（1）121＝112； 故答案为：11； （2）14641＝1212； 故答案为：121； （3）12321＝1112； 故答案为：111； （4）123454321＝111112； 故答案为：11111； （5）123456787654321＝111111112； 故答案为：11111111； （6）40804＝2022； 故答案为：202； （7）44944＝2122． 故答案为：212． 【点评】本题主要考查计算器的使用，解答的关键是熟练使用计算器． 6．（2023春•天河区校级期末）用计算器计算： （1） （2） （3） （4） 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： 【分析】利用计算器分别计算，根据计算规律，所得结果为被开方数算式相乘的因数加1． 【解答】解：（1）10， （2）100， （3）1000， （4）10000， 所以10n． 【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，主要是计算器的使用方法，需熟记． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第3章 实数》 3.4 实数的运算 知识点一 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 知识二 用计算器进行实数计算 我们可以用计算器进行实数的运算；近似计算时按题目的要求 将用计算器算得的结果取近似值。 （1）用计算器求一个数的算术平方根的步骤：①先按键； ②然后按 键； ③再输入要开平方的数； ④最后按键显示结果。如求√3 的操作是。 （2）用计算器求一个数的立方根的步骤： ①先按键； ②然后按键； ③再输入需要开立方的数； ④最后按 键显示结果。如求的操作是 。 题型一 实数的混合运算 解题技巧提炼 实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 1．（2024春•开福区校级期末）计算：． 2．（2024春•中山市期末）计算：． 3．（2024春•新兴县期末）计算：． 4．（2024春•崇阳县期末）计算：． 5．（2024春•潮州期末）计算：． 6．（2023秋•江都区月考）计算： （1）； （2）|1|+（﹣2）2． 7．（2024•渝中区校级开学）计算： （1）； （2）． 8．（2023秋•宿迁期末）计算： （1）； （2）． 9．（2024春•兖州区校级期末）（1）； （2）． 10．（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）； （2）|3|． 题型二 程序图与实数的运算 解题技巧提炼 根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答. 1．（2023春•江州区期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023春•铁东区校级月考）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C． D． 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（　　） A．﹣2 B． C． D． 4．（2023秋•海曙区校级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝81时，输出的y等于（　　） A．3 B．9 C． D． 5．有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的x为﹣512时，输出的y是（　　） A．﹣2 B． C． D． 6．（2024春•北京期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是 　 　． 7．（2023•海东市二模）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x为64时，则输出y的值是 　 　． 8．有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 　 ． 9．（2023秋•新化县期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 　 　． 题型三 新定义与实数的运算 解题技巧提炼 根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答. 1．（2024春•沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定a＄b＝a2ab2（b≥0）．则2＄4＝（　　） A．32 B．36 C．68 D．64 2．（2024春•东港区校级月考）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么※2＝　 　． 3．（2023秋•新都区期末）用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝12−4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝　 ． 4．（2023•滕州市校级开学）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2﹣b2，则（4☆3）☆13＝　 　． 5．（2023春•永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝　 　． 6．（2024春•禹州市月考）对于任意的正数x、y定义运算⊗为：，计算（3⊗2）+（12⊗18）的结果为（　　） A． B． C． D． 7．（2023•广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 　 　． 8．（2023•滕州市校级开学）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2﹣b2，则（4☆3）☆13＝　 　． 9．（2023春•永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝　 　． 10．（2023春•綦江区期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数例如，那么的运算结果是：　 　． 题型四 实数运算的实际应用 解题技巧提炼 实数的实际应用主要是根据题意找到数量关系，然后利用算术平方根以及立方根的性质进行计算即可解答. 1．（2023春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 2．（2024春•沂水县校级月考）如图，若正方形的面积为100cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：3，他能裁出符合要求的纸片吗？若能，请求出该长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理由． 3．（2024春•城厢区校级期中）一块长方形空地面积为2800平方米，其长宽之比为7：4． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为2：1），花坛的总面积为2166平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 4．（2024春•平坝区月考）小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求此长方形信封的长和宽． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 5．（2024春•思明区期末）依依需要一块长、宽比为6：5且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按如图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计） （1）缝合后大正方形的边长为 　 米； （2）依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由． 6．（2024春•仓山区校级月考）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 题型五 与实数相关的规律探究题 解题技巧提炼 首先根据已知数的特征归纳总结出这一列数变化规律,然后利用规律来解决问题是解题的关键． 1．（2023春•集美区校级期中）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 2．（2024•东昌府区一模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：1，3； 第2组：5，7，9，11； 第3组：13，15，17，19，21，23； 第4组：25，27，29，31，33，35，37，39； 现用（m，n）表示第m组从左往右数第n个数，则（21，5）表示的数是 　 　． 3．（2023春•海拉尔区期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第101个数是 　 　． 4．（2023•潮安区模拟）将1、、、按如图所示方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，6）表示的数是 　 　． 5．（2023春•浦北县校级月考）观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是 　 　． 6．（2023春•重庆期中）仔细观察下列等式：，2，3，4，…按此规律，第n个等式是　 　． 题型六 用计算器开方 1．（2023•汇川区三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A． B． C． D． 2．（2023•烟台一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A．23 B．32 C． D． 3．（2024•广饶县一模）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器面板显示的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．4 4．（2023秋•稷山县期中）在计算器上按键显示的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．33 5．（2023秋•牟平区期末）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•潍城区期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（　　） A．计算，按键： B．计算，按键： C．计算，按键： D．计算，按键： 7．（2024春•斗门区期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　） A． B． C． D． 题型七 用计算器开方探究规律 1．（2023•开远市二模）如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 2．（2024春•铜梁区期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据a（a＞0），经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024春•安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）＝　 　． 4．（2023春•淮南期中）计算器上的三个按键x2、、的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 　 ． 5．我们把左右数字排列对称的自然数叫作回文数．请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的（可借助计算器）： （1）121＝　 　2； （2）14641＝　 2； （3）12321＝　 2； （4）123454321＝　 　 2； （5）123456787654321＝　 　2； （6）40804＝　 　2； （7）44944＝　 　2． 6．（2023春•天河区校级期末）用计算器计算： （1） （2） （3） （4） 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$