精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先求解集合，再根据并集的定义，即可求解. 【详解】因， ，所以，有6个元素. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：A. 3. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算得出结果. 【详解】，所以复数的虚部为， 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域，排除CD选项，再由函数的为偶函数，排除A选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，可排除C、D选项， 又由，所以函数为偶函数，排除A选项. 故选：B. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得. 【详解】解： ， 当且仅当时取等号. 故选： 【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题. 6. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 7. 甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人. 【详解】 甲 乙 丙 丁 甲 得奖 乙 得奖 丙 没得奖 丁 没得奖 由上表知： 若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾； 若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾； 若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾； 所以丁得奖，只有丙说法与事实相符. 故选：D 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出，，即可判断出，再利用作差法比较的大小关系即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可. 【详解】对于A，由的图象向左平移个单位得：， 与得到函数不相同，故A错误； 对于B，将代入得：，此时既不是最高点，也不是最低点， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 由于在上递减，而，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，将代入得：，此时是函数零点， 所以的图象关于点对称，故D正确； 故选：CD． 10. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，；n，，．记样本平均数为，样本方差为，． A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率 C. 抽取的样本的均值为165 D. 抽取的样本的方差为43 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解人数判断A，根据概率公式即可求解B，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD. 【详解】对于A，男生被抽的人数为，故A正确， 对于B，每个女生被抽到的概率为，故B正确， 对于C，抽取的样本均值为，故C错误， 对于D，样本方差为，故D正确， 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点M的运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D． 【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形， 连接，则，故A错误； 对于B，如图： 平面，平面，，又， ，，平面， 平面，平面,， 同理可得，，，平面． 平面． 过点作交交于，过作交交于， 由，可得，平面，平面， 平面，同理可得平面， 平面， 则平面平面． 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段， 由点在棱上，且，可得， ，故B正确； 对于C，如图： 若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则，此时． 点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为． 点的运动轨迹长度，故C正确； 对于D，如图： 延长，交于点，连接交于，连接， 平面被正方体截得的截面为． ，， ，， ，，且， 截面为梯形， ，截面为等腰梯形，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量的夹角为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 因为，所以，即向量与向量反向， 又因为向量，， 设，可得，可得且 解得. 故答案为：. 13. 如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】过点作，且，连接，，先证明为等边三角形，从而得到，再证明，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作，且，连接，， 则，又， 所以等边三角形，所以， 则四边形为矩形，即， 由，则，又，且， 所以平面，所以平面， 又平面，所以， 则由勾股定理得． 故答案为：10． 14. 若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______． 【答案】25（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据求解. 【详解】如图所示的三棱锥中，, 在中，三边关系符合三角形的边角关系， 设，则且， 因此，由于，故可取， 故答案：25（答案不唯一） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）20. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 16. 现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图． （1）求的值并估计这名男生的身高的第百分位数； （2）求这名男生中身高在以上（含）的人数； （3）从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解的值，再结合百分位数的定义即可求解结果； （2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可； （3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知， ，解得. 因为，， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得， 即第百分位数为. 【小问2详解】 由图知，身高在以上（含）的人数频率为， 则身高在以上（含）的人数为. 【小问3详解】 由（2）知，身高在以上（含）的人数为， 则身高在以上（含）的人数为， 男生中身高在内的人数为， 令身高在内编号为， 身高在内编号为， 则样本空间为， 所以该人中身高恰有人在以上（含）的概率为. 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点． （1）若Q是直线PC与平面的交点，试确定的值； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得平面平面,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解的余弦值，根据与平面所成角与互为余角即可求解. （2）根据体积公式可得是中点，进而根据线线垂直证明平面，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解 【小问1详解】 取中点为，取中点，过作,连接， 由于且， 故,故四边形为平行四边形，故， 平面,平面,故平面 又,平面,平面,故平面, 平面，故平面平面, 由于平面与平面相交于,于平面相交于，故， 又，是的中点，是的中点，所以, 故是靠近于处的三等分点，故 【小问2详解】 由于三棱锥的体积为， 由于,故为等边三角形，故则, 故，即到平面的距离为1，由于,故是中点， 由于平面平面,故, 又,则， 平面，故平面， 平面，故, 又为中点，故, 平面，故平面， 取的中点，连接,则, 故平面， ,, 则, 由于为锐角，且与平面所成角与互为余角， 因此与平面所成角的正弦值为 18. 已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． （1）设函数，求函数的“特征向量”； （2）若函数的“特征向量”为，求当且时的值； （3）若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可； （2）由已知可得，利用即可求解； （3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或且，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的范围． 【小问1详解】 因为 所以的“特征向量”为． 【小问2详解】 由题意知， 由得，， 因为，，所以， 所以． 【小问3详解】 ，当时，． 由得， 所以或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 因为方程在上存在4个不相等的实数根， 所以当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线， 因为方程在上有两个不等实根， 即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点， 由图像可知：或， 解得或， 所以实数G的取值范围是． 【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量； （2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；；（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）根据直线满足方程，对进行合理取值两次，求出即可求解； （2）（ⅰ）根据分析得到为截去三棱锥所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可； （ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【小问1详解】 直线是两个平面与的交线， 所以直线上的点满足， 不妨设，则， 不妨设，则， 直线的一个方向向量为：； 【小问2详解】 （ⅰ）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，， 考虑集合的子集， 即为三个坐标平面与转成的四面体， 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为， 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 为截去三棱锥所剩下的部分， 的体积， 三棱锥的体积为， 的体积为， 由对称性知． （ⅱ）①记集合中所有点构成的几何体为，如图， 其中，正方体即为集合所构成的区域， 构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为2， ， 的体积． ②由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为， 面方程为，由题干定义知其法向量为， ，由图知两个相邻面所成的角为钝角， 所成二面角的余弦值为：． 【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知是虚数单位，则复数虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 7. 甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 上单调递减 D. 的图象关于点对称 10. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，；n，，．记样本平均数为，样本方差为，． A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率 C. 抽取的样本的均值为165 D. 抽取的样本的方差为43 11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点M的运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则m的值为________． 13. 如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________． 14. 若三棱锥棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 16. 现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图． （1）求的值并估计这名男生的身高的第百分位数； （2）求这名男生中身高在以上（含）的人数； （3）从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率． 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点． （1）若Q是直线PC与平面交点，试确定的值； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． （1）设函数，求函数的“特征向量”； （2）若函数的“特征向量”为，求当且时的值； （3）若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量； （2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$