10重难突破（7）概率与统计的综合问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

重难突破(七)　概率与统计的综合问题 概率与统计解答题每年高考必考，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等．既有比较基础的简单应用，也有各类知识交汇的综合题，如概率与统计图表交汇、概率与统计和统计案例交汇、概率与函数、数列、不等式等的交汇等．此类问题一般篇幅较长，对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养． 题型一　概率与回归分析的综合 [例1] (2024·江苏常州模拟)某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了解研发资金的投资额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投资额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下： 投资额xi 2 3 4 5 6 8 9 11 年收入的附加额yi 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程； (2)在(1)的条件下，若投资额为16百万元，估计年收入的附加额； (3)若年收入的附加额与投资额的比值大于1，则称对应的投资额为“优秀投资额”，现从上面8个投资额中任意取3个，用X表示这3个投资额中“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望． 附：＝334.1，＝48.6，＝356. 在线性回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 解：(1)＝＝6，＝＝＝6.075， 得＝＝＝0.625， 又＝－＝6.075－0.625×6＝2.325， 所以年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程为＝0.625x＋2.325. (2)当x＝16时，＝0.625×16＋2.325＝12.325， 所以当投资额为16百万元时，估计年收入的附加额为12.325百万元． (3)8个投资额中，“优秀投资额”的个数为5， 故X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 【思维升华】　高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键． [对点练1]　(2024·四川成都模拟)为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中，化肥施用量为x(单位：千克)，粮食亩产量为y(单位：百千克).令ti＝ln xi，zi＝ln yi(i＝1，2，…，10). 650 91.5 52.5 1 478.6 30.5 15 15 46.5 (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝cxd哪一个更适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计化肥施用量为27千克时，粮食亩产量的值； (3)经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N(0.54，0.022).问这种化肥的有效率超过56%的概率约为多少？ 附：①在回归直线方程中＝u＋，＝，＝－；②若随机变量Z～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 5；③e≈2.7. 解：(1)由散点图可知：y随x的变化呈现非线性的变化趋势， ∴y＝cxd更适宜作为y关于x的回归方程模型． (2)由y＝cxd得ln y＝d ln x＋ln c，即＝t＋ln ， ∴＝＝＝，∴ln ＝－＝1.5－×1.5＝1， ∴＝e，∴y关于x的回归方程为＝ex， 当x＝27时，＝3e≈8.1，即当化肥施用量为27千克时，粮食亩产量为810千克． (3)∵Z～N(0.54，0.022)，则μ＝0.54，σ＝0.02， ∴P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝P(0.52<Z<0.56)≈0.682 7， 则P(Z≥0.56)≈＝0.158 65， ∴这种化肥的有效率超过56%的概率约为0.158 65. 题型二　概率与独立性检验综合 【思维升华】　高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查．解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型． [对点练2](2023·山东烟台二模)某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图： (1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.001的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联； 性别 是否喜欢排球运动 是 否 男生 女生 (2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得P(X＝k)取得最大值时的k值． 附：2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.001＝10.828. 解：(1)由等高堆积条形图知，2×2列联表为： 性别 是否喜欢排球运动 是 否 男生 30 70 女生 60 40 零假设为H0：性别与是否喜欢排球运动无关， 根据列联表中的数据， ＝≈18.182>10.828＝x0.001， 故依据α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即性别与是否喜欢排球运动有关联． (2)由(1)知，喜欢排球运动的频率为＝， 所以随机变量X～B(50，)， 则P(X＝k)＝C()k(1－)50－k(0≤k≤50，k∈N)， 令 解得≤k≤. 因为k∈N，所以当k＝22时，P(X＝k)取得最大值． 题型三　概率中的证明问题 [例3] (2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3). (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． [思维建模] 序号 关键信息 数学符号与抽象 1 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列 阅读题目，理解相互独立和相同的分布列 2 已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X) 可直接用数学期望公式计算 3 p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1；当E(X)>1时，p<1 这是综合性极强的问题，可用多种思路解决问题，一是通过综合运用导数判断函数的单调性以及应用零点存在定理，不但解决了根的存在性，同时也给出了根所在的区间，从而可以比较不同正根的大小；二是运用二次方程解的性质解决原方程的最小正根的判断 4 根据你的理解说明(2)问结论的实际意义 是开放型题目，考查考生对结论本质的主观认知能力 解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)证明：法一　令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x2－x， 有f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x. 显然当x≥0时，f″(x)＝2p2＋6p3x>0，f′(x)在区间[0，＋∞]上单调递增． 下面证明当E(X)≤1时，有p＝1. 假设p<1， 一方面，因为f(p)＝0，f(1)＝0，根据罗尔中值定理，∃ξ∈(p，1)，使得f′(ξ)＝0， 另一方面，因为f′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以有f′(ξ)<f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＝0×p0＋1×p1＋2×p2＋3×p3－1＝E(X)－1≤0，即f′(ξ)<0. 这就与f′(ξ)＝0矛盾，故假设p<1不成立，所以必有p＝1. 再证明当E(X)>1时，p<1. 因为f′(1)＝E(X)－1>0，考虑到f′(x)是一个连续函数，所以存在x＝1的某一邻域U(1)，使得当x∈U(1)时，有f′(x)>0.在这个邻域内任取一点x0<1，有f(x0)<f(1)＝0.再考虑到f(0)＝p0>0，且f(x)是一个连续函数，所以由零点存在定理，至少存在一点ξ∈(0，x0)，使得f(ξ)＝0.因为p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x2＝x的一个最小正实根，于是p≤ξ<1. 法二　令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x， 当x>0时，有f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x>0， 当x≥0时，f″(x)＝2p2＋6p3x>0，所以f′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增． 下面证明当E(X)≤1时，有p＝1. 当x∈(0，1)时，因为f′(x)<f′(1)＝E(X)－1≤0，所以函数f(x)在[0，1]上单调递减， 于是f(x)>f(1)＝0，即f(x)在(0，1)内没有零点， 所以x＝1是使得f(x)＝0的最小的正根，故p＝1. 当E(X)>1时，因为f′(0)＝p1－1<0，f′(1)＝E(X)－1>0且f′(x)在[0，1]上连续， 所以由零点存在定理知，存在x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0. 因为f′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以当x0<x<1时，有f′(x)>f′(x0)＝0， 所以函数f(x)在[x0，1]上单调递增， 于是f(x0)<f(1)＝0. 注意到f(0)＝p0>0，由零点存在定理知，存在ξ∈(0，x0)，使得f(ξ)＝0. 另一方面，由于当0<x<x0，f′(x)<f′(x0)＝0，所以这样的ξ是唯一的，于是f(x)＝0的最小正根就是p＝ξ<1. (3)通过(2)中的讨论可得，当1个微生物个体繁殖下一代个数的数学期望不超过1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1；当1个微生物个体繁殖下一代个数的数学期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后仍可继续繁殖． 【思维升华】　本题以微生物群体自身繁殖为背景，以随机变量的数学期望为载体，考查运用导数研究函数单调性，应用零点存在定理解决根的存在性问题以及证明不等式，本题属于探索创新情境．解题时要能够理解、分析题目信息并进行综合、抽象与概括．会选择有效的解题方法进行正确推理．能准确、清晰、有条理地进行表述． [对点练3]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. (ⅰ)证明：R＝·； (ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值． 附：＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)由已知＝＝＝24， 又P(≥6.635)＝0.01，24>6.635， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(ⅰ)因为R＝· ＝···＝， ·＝··· ＝， 所以R＝·， (ⅱ)由已知得P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝， 又P(|B)＝＝，P(|)＝＝， 所以R＝·＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $$