10 第2节 二项式定理(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第2节　二项式定理　　　　　► 对应学生用书P242 [课标要求]　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C． [点拨]　(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． [思考]　(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？ 提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同． 2．二项式系数的性质 [点拨]　利用赋值法求二项式系数的和 已知(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，令x＝1，得2n＝C＋C＋C＋…＋C. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)(a＋b)n的展开式中的第k项是Can－kbk.(　　) (2)在二项展开式中，系数最大的项一定为中间的一项或中间的两项．(　　) (3)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　　) (4)在(ax＋b)n的展开式中，某项的系数一定与该项的二项式系数相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人教A版选择性必修三·P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　 ) A．C B．－C C．C D．－C 解析：选D.(x－1)10的展开式的第6项是T6＝C·x5·(－1)5＝－C·x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－C. 3．(人教A版选择性必修三·P34练习T1(1))C＋C＋C＋…＋C＝________． 解析：因为C＋C＋C＋…＋C＝211， 且C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C， 所以C＋C＋C＋…＋C＝×211＝1 024. 答案：1 024 4．(人教A版选择性必修三·P35T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数分别是________，________. 解析：∵第4项与第8项的二项式系数相等， ∴C＝C，∴n＝3＋7＝10，∴这两项的二项式系数是C＝C＝＝120. 答案：120　120 5．(人教A版选择性必修三·P33例3改编)已知n∈N*，(3x－)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则该二项式展开式中各项系数和为________． 解析：∵n∈N*，(3x－)n的展开式中只有第7项的二项式系数C最大，∴n＝12，令x＝1，所以该二项式展开式中各项系数和为212. 答案：212 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　二项展开式中的通项问题 　(a＋b)n(n∈N*)型 [例1] (1)(2023·北京高考)(2x－)5的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析：选D.(2x－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以(2x－)5的展开式中x的系数为(－1)225－2C＝80. (2)(2023·河北适应性测试)已知(－)5的展开式中含x－2的项的系数为80，则a＝(　　 ) A．－ B． C．－2 D．2 解析：选C.根据二项展开式的通项公式，则Tr＋1＝C()5－r(－)r， 整理得Tr＋1＝C(－1)rarx， 因为展开式中含x－2的项的系数为80，所以＝－2，解得r＝3， 所以系数C(－1)3a3＝80，解得a＝－2. (3)二项式(x＋)6的展开式中系数为无理数的项的个数为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.展开式通项公式为Tr＋1＝C(x)6－r()r＝2Cx6－2r，r＝0，1，2，3，4，5，6，当r＝0，2，4，6时，是整数，r＝1，3，5时，不是整数，系数是无理数，共有3项． 【思维升华】　求二项展开式中特定项的步骤 　(a＋b)m(c＋d)n(n∈N*)型 [例2] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). 解析：因为＝－， 所以的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6， 所以的展开式中x2y6的系数为－28. 答案：－28 (2)(2024·江苏南通模拟)(＋a)(1－x)5展开式中的常数项为6，则a＝________． 解析：(1－x)5展开式第r＋1项Tr＋1＝C(－x)r，当r＝1时，·C(－x)＝－5，当r＝0时，a·C＝a，故－5＋a＝6，解得a＝11. 答案：11 【思维升华】　求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法 　(a＋b＋c)n(n∈N*)型 [例3] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　 ) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：选C.法一　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr， 令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2. 又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1. 所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30. 法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，要得到x5y2，需从5个因式中选2个因式取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 【思维升华】　求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法 跟踪训练1 (1)二项式(＋)n的展开式的第5项为常数项，则n＝__________． 解析：二项式(＋)n展开式的通项公式为Tr＋1＝C23r－n·x， 由展开式中，第5项为常数项，此时r＝4，则＝0，即n＝6. 答案：6 (2)(2024·山东济宁一模)(x＋＋1)(1－x)6的展开式中x3的系数为______(用数字作答). 解析：(x＋＋1)(1－x)6＝x(1－x)6＋(1－x)6＋(1－x)6， (1－x)6展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)r·xr， 取r＝2得到T3＝C(－1)2·x2＝15x2； 取r＝3得到T4＝C(－1)3·x3＝－20x3； 取r＝4得到T5＝C(－1)4·x4＝15x4； 故x3的系数为15－20＋15＝10. 答案：10 (3)(2022·山东泰安一模)在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数是____________． 解析：(1－x)4的展开式的通项公式为C(－x)k， (2x＋1)5的展开式的通项公式为C(2x)5－r， 所以(1－x)4(2x＋1)5展开式中，含x2的项为：C(－x)0·C(2x)5－3＋C(－x)1C(2x)5－4＋C(－x)2C(2x)5－5＝6x2， 所以含x2的项的系数为6. 答案：6 (4)(x－－1)5的展开式中的常数项为(　　 ) A．－11 B．50 C．－61 D．61 解析：选A.(x－－1)5＝(x－－1)(x－－1)(x－－1)(x－－1)(x－－1)，所以展开式中的常数项为(－1)5＋CC×(－1)×(－1)3＋CC×(－1)2×(－1)＝－11. 考点2　二项式系数的和与各项系数的和 [例4] (1)(多选)(2024·山东青岛模拟)已知(2x－)n的展开式的各二项式系数的和为256，则(　　 ) A．n＝8 B．展开式中x－2的系数为－448 C．展开式中常数项为16 D．展开式中所有项的系数和为1 解析：选ABD.由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8，A选项正确； (2x－)8展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)8－r(－)r＝C(－1)r·28－r·x8－2r，8－2r＝－2时，r＝5，展开式中x－2的系数为C(－1)5·28－5＝－448，B选项正确； 8－2r＝0时，r＝4，展开式中常数项为C(－1)4·28－4＝1 120，C选项错误； (2x－)8中，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为(2－1)8＝1，D选项正确． (2)(多选)(2023·福建莆田模拟)已知(3x－2)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则(　　 ) A．a0＝22 023 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝ D．a0＋＋＋＋…＋＝－1 解析：选BCD.对于A：令x＝0，可得a0＝(－2)2 023＝－22 023，故A错误； 对于B：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝12 023＝1，故B正确； 对于C：令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝(－5)2 023＝－52 023， 结合选项B，两式作差，可得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝52 023＋1， 即a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝，故C正确； 对于D：令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝(－1)2 023＝－1，故D正确． 【思维升华】　1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中： (1)各项系数之和为f(1)； (2)a0＋a2＋a4＋…＝； (3)a1＋a3＋a5＋…＝. 跟踪训练2 (2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 解析：(x－1)4展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，故a2＝1×C×(－1)3＋2×C×(－1)2＝8. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 考点3　系数与二项式系数的最值问题 　二项式系数的最值 [例5] (1)(2023·山东省实验中学二模)(x＋2y)6展开式中二项式系数最大的项的系数为______． 解析：由二项式系数的基本性质可知(x＋2y)6展开式中二项式系数最大的项为T4＝C·x3·(2y)3＝160x3y3. 因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为160. 答案：160 (2)(2023·山东潍坊模拟)已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为__________． 解析：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6， 二项式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r(－a)r，令6－r＝3，解得r＝3, 所以展开式中x3项为C(2x)3(－a)3＝－160a3x3，－160a3＝20，解得a＝－. 答案：－ 　项的系数的最值 [例6] 若(＋)n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项的系数为______． 解析：展开式的通项公式为Tk＋1＝2kCx，由题意可得20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9，设展开式中Tk＋1＝2kCx的系数最大， 则解得≤k≤， 又∵k∈N，∴k＝6，故展开式中系数最大的项的系数为26C＝5 376. 答案：5 376 【思维升华】　1.二项式系数最大项的确定方法 2．二项展开式系数最大项的求法 跟踪训练3 (多选)(2024·河北衡水中学模拟)在二项式(2－)8的展开式中(　　 ) A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1 C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小 解析：选BCD.二项式(2－)8的展开式的通项为Tk＋1＝C(2)8－k(－)k＝(－1)k28－kCx4－k， 对于A，令4－k＝0，得k＝4，故常数项是第5项，故A错误； 对于B，令x＝1，则所有项的系数和是(2－1)8＝1，故B正确； 对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，设第k＋1项的系数的绝对值最大，则解得2≤k≤3， 又k∈Z，所以k＝2或k＝3. 当k＝2时，T3＝1 792x2；当k＝3时，T4＝－1 792x， 所以第4项的系数最小，故D正确． 考点4　二项式定理的应用 [例7] (1)(2024·河北唐山、邯郸高三期末)9810除以1 000的余数是________． 解析：因为9810＝(100－2)10＝10010＋C×(－2)×1009＋C×(－2)2×1008＋…＋C×(－2)9×100＋C×(－2)10＝[10010＋C×(－2)×1009＋C×(－2)2×1008＋…＋(－2)9×1 000]＋1 024＝[10010＋C×(－2)×1009＋C×(－2)2×1008＋…＋(－2)9×1 000＋1 000]＋24， 所以9810除以1 000的余数是24. 答案：24 (2)用二项式定理估算1.0110≈______．(精确到0.001) 解析：1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.012＋C×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105. 答案：1.105 【思维升华】　1.用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2.利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度． 跟踪训练4 (1)(2023·江苏常州模拟)若642 024＋m能被13整除，则m的最小正整数取值为______． 解析：642 024＋m＝(13×5－1)2 024＋m＝C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023＋1＋m， 因为C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023能被13整除，所以m＋1是13的倍数，所以m的最小正整数取值为12. 答案：12 (2)C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985≈________．(精确到0.01) 解析：原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022－C22×0.0023＋C2×0.0024－C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84. 答案：30.84 学科网（北京）股份有限公司 $$