10 第1节 第2课时 排列与组合(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第二课时　排列与组合　　　　　► 对应学生用书P239考点1　排列问题 [例1] 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 解：(1)(直接法)从7个人中选5个人来排列，有A＝2 520(种). (2)(优先法)甲为特殊元素，先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600(种). (3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576(种). (4)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440(种). (5)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有A种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A种方法，故共有A×A×A＝720(种). 【思维升华】　求排列问题的四种常用方法 跟踪训练1 (多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　 ) A．某学生从中选3门，共有30种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C.课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 解析：选CD.对于A，某学生从6门中选3门共有C＝20种，故A错误； 对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有AA＝480种排法，故B错误； 对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有AA＝144种排法，故C正确； 对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论， 若课程“乐”排在最后一周，有A种排法， 若课程“乐”不排在最后一周，有CCA种排法， 所以共有A＋CCA＝504种排法，故D正确． 考点2　组合问题 [例2] 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员． 解：(1)分两步完成： 第一步，选3名男运动员，有C种选法； 第二步，选2名女运动员，有C种选法． 由分步乘法计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法． (2)法一　“至少有1名女运动员”包括四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种). 法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解． 从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种). (3)法一(直接法)　可分类求解： “只有男队长”的选法种数为C， “只有女队长”的选法种数为C， “男、女队长都入选”的选法种数为C， 所以共有2C＋C＝196(种)选法． 法二(间接法)　从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的方法有C种，所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种). (4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种). 【思维升华】　组合问题的两类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 跟踪训练2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有C＝561(种)，故某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)， 故某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)， 故恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)， 故至少有2种假货在内的不同取法有2 555种． (5)选取3种的总数为C种，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种)， 故至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． 考点3　排列组合的综合问题 　“邻”与“不邻”问题 [例3] (1)(2024·安徽马鞍山模拟)要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是(　　 ) A．AA B．AA C．AA D．AA 解析：选C.3个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有A种排法，将3个舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有A种排法，根据乘法原理，共有AA种不同的排法． (2)5位同学和2位老师一起拍照，要求排成一排，2位老师相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．(结果用数字表示) 解析：首先排2位同学到两端，有A种排法，再排其余3位同学与2位老师，其中老师需相邻，故有AA种排法，按照分步乘法计数原理可得共有AAA＝960种排法． 答案：960 【思维升华】　(1)解决相邻问题一般用“捆绑法”，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (2)不相邻问题，一般用“插空法”．先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 　“在”与“不在”问题 [例4] (1)某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为(　　 ) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：选B.当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有AA＝24种； 当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有A＝12. 故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24＋12＝36. (2)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有(　　 ) A．72种 B．78种 C．96种 D．102种 解析：选B.由题意可得，甲不是冠军，乙不是最后一名， 因为5人名次的不同排列共有A，其中甲是冠军的排列方法有A，乙是最后一名的排列方法有A，甲是冠军且乙是最后一名的排列方法有A， 所以，甲不是冠军，乙不是最后一名的排列方法有A－A－A＋A＝78. 【思维升华】　“特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先． 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分布解决． 　分组分配问题 [例5] (1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．80种 D．60种 解析：选D.首先安排甲场馆的3名同学，即C＝20；再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即C＝3；最后安排2名同学到丙场馆，即C＝1.所以不同的安排方法有20×3×1＝60种． (2)(2024·湖南株洲模拟)将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有(　　 ) A．1 880种 B．2 940种 C．3 740种 D．5 640种 解析：选B.5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1∶1∶3型与1∶2∶2型， 对于1∶1∶3型，女老师的分配情况有CA＝60，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60； 对于1∶2∶2型，女老师的分配情况有A＝90，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0∶5型、1∶4型与2∶3型，则分配情况有A＋CA＋CCA＝32，即总分配情况为32×90＝2 880. 综上所述，2 880＋60＝2 940. (3)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有______种． 解析：甲、乙、丙家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为×A＝90. 答案：90 [变式] (变条件)本例(1)若改为“三个场馆分别安排1名、2名、3名志愿者”，其余条件不变，则不同的安排方法共有多少种？ 解：因为没有指明哪个场馆安排几名，所以不同的安排方法有CCCA＝360种． 【思维升华】　分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配． (1)分组问题属于“组合”问题． ①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘； ②对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！； ③对于不等分组，只需先分组，后排列． (2)分配问题属于“排列”问题． ①相同元素的“分配”问题，常采用“挡板法”； ②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放； ③有限制条件的分配问题常采用分类法求解． 跟踪训练3 (1)(2024·广东汕头一模)现将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式有(　　) A．192种 B．240种 C．120种 D．28种 解析：选A.当A，B相邻时，不同的排列方式有AA＝240种， 当A，B，C相邻，且B在A，C中间时，不同的排列方式有2A＝48种， 则要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式有240－48＝192种． (2)某电视台计划在某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益宣传广告，且3个公益宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有________种．(用数字作答) 解析：先考虑第一个和最后一个位置必为公益宣传广告，有A＝6(种)， 另一公益广告插入3个商业广告之间，有A＝2(种)； 再考虑3个商业广告的顺序，有A＝6(种)， 故共有6×2×6＝72(种). 答案：72 (3)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：①节目甲必须排在第四位；②节目乙不能排在第一位；③节目丙必须排在最后一位，那么该台晚会节目演出顺序的编排方案共有______种． 解析：由于节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位， 则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他3个节目任意排列， 由分步乘法计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有3A＝18种． 答案：18 (4)(多选)某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是(　　 ) A．所有不同分派方案共43种 B．所有不同分派方案共36种 C．若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种 D.若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种 解析：选BCD.由题意，所有不同分派方案共·A＝36种，故A错误，B正确； 对于C，若甲必须到A企业， 若企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人，则不同分派方案有A＝6种， 若A企业只有一人，则不同分派方案有CCA＝6种， 所以所有不同分派方案共6＋6＝12种，故C正确； 对于D，若甲，乙安排到同一家企业， 则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，则有A＝6种不同的分派方法， 所以若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共36－6＝30种，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$