9 第2节 用样本估计总体(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第2节　用样本估计总体　　　　► 对应学生用书P225 [课标要求]　1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．　2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．　3.能用样本估计总体的取值规律．　4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．　5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第 i项与第(i＋1)项数据的平均数． [点拨]　1.第0百分位数为数据中的最小数，第100百分位数为数据中的最大数； 2．一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数； 3．一组数据的某些百分位数可能是同一个数． 2．总体集中趋势的估计 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数x＝ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 3.总体离散程度的估计 (1)假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的 ①标准差 s＝． ②方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋…＋(xn－x)2]. (2)分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为ω，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为s.则x＝，s＝，y＝，s＝. 则①ω＝x＋y； ②s2＝{m[s＋(x－ω)2]＋n[s＋(y－ω)2]}. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　 ) (2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　 ) (3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(　　 ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(人教A版必修二·P203例2改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(　　) A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5 解析：选A.将10个数按从小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而10×25%＝2.5，为第3项138；中位数为＝160.5. 3．(北师大版必修一·P168例1改编)设一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.1，则数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为(　　 ) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．2 解析：选C.由方差公式的推广，知数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为22×0.1＝4×0.1＝0.4. 4．(多选)(人教A版必修二·P216习题9.2T3改编)在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有(　　 ) A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队很少失球 C．一队有时表现差，有时表现又非常好 D．二队比一队技术水平更稳定 解析：选ACD.对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，所以平均说来一队比二队防守技术好，故A正确； 对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队经常失球，故B错误； 对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确； 对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确． 5．(人教A版必修二·P224复习参考题9T2题)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　 ) A．平均数为2，方差为3.1 B．中位数为3，方差为1.6 C.中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2 解析：选A.对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差s2>(6－2)2＝3.2>3.1，故平均数为2，方差为3.1，一定没有出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为s2＝[(3－4)2＋(3－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝1.6，此时出现点数为6，故B错误； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误． 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　总体百分位数的估计 [例1] (1)(2024·吉林白山一模)某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是(　　 ) A．82.5 B．85 C．90 D．92.5 解析：选D.根据题意，20×70%＝14，故这个学习小组成员该次数学测试成绩的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为＝92.5，故这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是92.5. (2)(2023·山东日照二模)为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90].对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为(　　 ) A．43.5分钟 B．45.5分钟 C．47.5分钟 D．49.5分钟 解析：选C.由频率之和为1得：10(0.01＋0.02＋0.03＋2a＋0.01)＝1，解得a＝0.015， 由10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25， 故第25百分位数位于[40，50)内， 则第25百分位数为40＋×10＝47.5. 可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5. [变式](变结论)在本例1(1)的条件下，求该次数学测试成绩的第66百分位数． 解：根据题意，20×66%＝13.2，该次数学测试成绩的第14项为90，故第66百分位数为90. 【思维升华】　频率分布直方图中第p百分位数的计算 跟踪训练1 (2024·广东江门模拟)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x＝(　　 ) A．169 B．170 C．171 D．172 解析：选C.因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序为：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又10×60%＝6，所以第60百分位数为，由已知＝170，所以x＝171. 考点2　总体集中趋势的估计 [例2] (1)(2023·山东济南二模)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　 ) A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 解析：选B.依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为＝7.8. (2)(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的有(　　 ) A．频率分布直方图中第三组的频数为10 B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 解析：选ABC.分数在[60，70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确； 因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确； 因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70，80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确； 样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误． 【思维升华】　计算一组数据的平均数、中位数和众数时的注意点 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重记或漏记． (2)求中位数时，一定先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数． (3)若有两个或两个以上的数据出现的最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数． 跟踪训练2 (2024·山东青岛模拟)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是(　　 ) A.甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79 C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值 解析：选D.由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为(0.020＋0.025＋0.030)×10＝0.75，故乙班成绩的75百分位数为80，B错误； 由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误； 甲班平均数为甲＝＝74.8，乙班平均数估计值为乙＝10(55×0.02＋65×0.025＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.005)＝71.5<74.8，即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确． 考点3　总体离散程度的估计 　方差与标准差的计算 [例3] (2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：(1)＝×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， ＝×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， ＝－＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 　分层随机抽样的方差与标准差 [例4] 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是(　　 ) A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3 B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5 C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5 D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5 解析：选B.设甲组数据的平均数为1，方差为s，乙组数据的平均数为2，方差为s，混合后的新数据的平均数为，方差为s2，则1＝3，s＝5， 对于A，新的一组数据平均数＝×3＋×3＝3，A正确； 对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]可知无法确定新的一组数据方差，B错误； 对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即2＝3，s＝5，所以＝×3＋×3＝3，所以s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]＝(5＋02)＋(5＋02)＝5，C正确； 对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即2＝5，s＝3，所以＝×3＋×5＝4，所以s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]＝(5＋1)＋(3＋1)＝5，D正确． 　均值与方差的应用 [例5] (2024·四川南充模拟)某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为s和s. A(单位/kg) 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B(单位/kg) 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数； (2)求，，s，s； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 解：(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90， 这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为＝60， 这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80， 这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为＝60. (2)＝×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60， ＝×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59， s＝×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300， s＝×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349. (3)由第一问可知这两个品种极差和中位数都相等，由第二问可知>，s<s， 则A品种桃树平均产量高，波动小， 所以应该选种A品种桃树． 【思维升华】　(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 跟踪训练3 (1)一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______． 解析：一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数不变， 设没有改变的6个数分别为x1，x2，…，x6， 原一组数的方差s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x6－)2＋(4－)2＋(6－)2]， 新数据的方差s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x6－)2＋(2－)2＋(8－)2]， 所以s－s＝[(2－)2＋(8－)2－(4－)2－(6－)2]＝2. 答案：2 (2)(2023·湖北襄阳模拟)某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为____________． 解析：设甲班12个人视力检测数据分别为xi(i＝1，2，…，12)， 乙班8个人的视力检测数据分别为yi(i＝1，2，…，8)， 由题意知：＝12，＝12，＝8×1.5＝12，＝8×0.25＝2， 由题意20个人的视力的平均数为(＋)＝＝1.2， 方差为s2＝[＋]＝[＋]＝[－2×0.2＋12×0.22＋＋2×0.3＋8×0.32]＝(12－0＋0.48＋2＋0＋0.72)＝0.76. 答案：0.76 (3)(2024·江西新余模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人． ①求x； ②求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)； ③从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90. a．分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差； b．以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度． 解：①根据题中频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05， 所以＝0.05，所以x＝120. ②设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5， 所以a＝≈32， 故抽取的x人的年龄的中位数为32. ③a.5个年龄组的平均数为×(93＋96＋97＋94＋90)＝94， 方差为×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6， 5个职业组的平均数为×(93＋98＋94＋95＋90)＝94， 方差为×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8. b．评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好． 学科网（北京）股份有限公司 $$