8 培优拓展（17） 阿波罗尼斯圆(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

　 培优拓展(十七)　阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯是古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ＝1时P点的轨迹是线段AB的中垂线) 2．阿波罗尼斯圆的证明 证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0). 又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2). 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 当λ>0且λ≠1时，(x－m)2＋y2＝，轨迹为以点(m，0)为圆心，||为半径的圆． [典例]　(多选)(2024·重庆育才中学模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝，则点P所构成的曲线为C为阿氏圆．下列结论正确的是(　　 ) A．曲线C的圆心在x轴上 B．曲线C的半径为4 C．从点(0，3)向圆C引切线，切线长是3 D．曲线C与圆C′：x2＋y2＋4x－6y－3＝0相外切 解析：选ABC.由题意可设点P(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，＝， 得＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16， 故得曲线C为以(－4，0)为圆心，半径r＝4的圆，故选项A，B均正确； 如图，设D(0，3)，圆心C(－4，0)，过D点作曲线C的切线，切点为H， 得|CD|＝ ＝5，∵CH⊥DH，∴|DH|＝＝＝3， 故从(0，3)向圆C引切线，切线长为3，故选项C正确； 由C′：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，整理得C′：(x＋2)2＋(y－3)2＝16， 得圆心C′(－2，3)，半径r′＝4，|CC′|＝＝，r＋r′＝4＋4＝8， ∵|CC′|≠r＋r′，故曲线C与C′不相外切，故选项D错误． [对点练]　(1)(2023·湖北襄阳模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，动点M满足|MA|＝2|MO|，设动点M的轨迹是曲线C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与曲线C恒有公共点，则b的取值范围是(　　 ) A．[－，] B．[－，] C．[－，] D．[－，] 解析：选C.设点M(x，y)，∵|MA|＝2|MO|，∴(x＋2)2＋y2＝4x2＋4y2， ∴动点M的轨迹为圆C：3x2＋3y2－4x－4＝0， 又直线l：y＝k(x－1)＋b恒过点(1，b)，且若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点， ∴(1，b)在圆C的内部或圆上，∴3＋3b2－8≤0，即3b2≤5，解得－≤b≤，故b的取值范围为[－，]. (2)古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，1)，B(1，1)，点P满足＝，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线l：x＋y＋c＝0与圆M相交于D，G两点，且DG＝2，则c＝____________. 解析：设点P(x，y)，∵点P满足＝， ∴＝ ， 化为(x－4)2＋(y－1)2＝18，即点P的轨迹圆M，圆心M(4，1)，半径r＝3. 圆心M(4，1)到直线l：x＋y＋c＝0的距离d＝＝，∴|DG|＝2＝2， ∴18－＝10，解得c＝－1或－9. 答案：－1或－9 学科网（北京）股份有限公司 $$