4 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第二课时　简单的三角恒等变换　　　► 对应学生用书P91 考点1　三角函数式的化简 [例1] (1)化简：＝________． 解析：原式＝＝＝＝＝cos 2x. 答案：cos 2x (2)化简(－tan )·(1＋tan α·tan )＝________． 解析：(－tan )·(1＋tan α·tan )＝(－)·(1＋·)＝·＝·＝. 答案： 【思维升华】　三角函数式的化简 跟踪训练1 (1)2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 解析：选B.2＋＝2＋ ＝2＋＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|. ∵＜2＜π，∴cos 2＜0， ∵sin 2＋cos 2＝sin ，0＜2＋＜π， ∴sin 2＋cos 2＞0， ∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. (2) 已知0＜θ＜π，则 ＝________． 解析：原式＝＝ ＝＝－cos θ. 答案：－cos θ 考点2　三角函数式的求值 　给角求值 [例2] (1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选D.sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·(－)＝sin 40°· ＝sin 40°·＝sin 40°· ＝sin 40°·＝sin 40°·＝＝ ＝－1. (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________． 解析：cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－＝－ ＝－＝－＝－＝－. 答案：－ 【思维升华】　给角求值问题的求解策略 给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角，求解时，需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系，通过公式的正用、逆用、变形用，使得式子中的角以及式子的结构发生变换，从而达到化简计算的目的，通常有以下三种思路： (1)通过变换，化为特殊角的三角函数值； (2)通过变换，产生正负抵消的项消去求值； (3)通过变换，产生分子分母约分的项约分求值． 　给值求值 [例3] (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B.因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos (2α＋2β)＝cos ＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝. (2)已知sin2θ＝，则tan2的值为(　　) A． B． C．5 D．6 解析：选A.由已知，得cos2＝＝＝＝，sin2＝＝＝＝，故tan2＝＝. 【思维升华】　给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子或已知条件． (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手). (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 　给值求角 [例4] 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝________． 解析：因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sinβ＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π. 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜， 又β为锐角，所以－＜2α－β＜， 又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 答案：　 【思维升华】　已知三角函数值求角的解题步骤 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 跟踪训练2 (1)＝(　　) A．－ B．1 C． D．2 解析：选C.原式＝ ＝＝＝. (2)(2024·铁岭质检)已知＋tan θ＝2，则tan 的值为(　　) A．3 B．或－1 C． D． 解析：选D.由＋tan θ＝＋＝＋＝2， 整理得3tan2＋2tan－1＝0， 解得tan ＝或tan ＝－1. 因为cos θ≠0，所以θ≠＋kπ，k∈Z， 所以≠＋，k∈Z， 所以tan ≠－1，故tan ＝. (3)已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________． 解析：∵0<β<α<，∴0<α－β<， 则sin α＝.又cos (α－β)＝， ∴sin (α－β)＝＝. ∴cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝. 又0<β<，∴β＝. 答案： 考点3　三角变换的综合应用 [例5] 已知f(x)＝sin ＋2sin (x－)·cos . (1)求f的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)由题意得f(x)＝sin ＋2sin (x－)cos ＝sin －2sin (x－)cos [π－(x＋)] ＝sin －2sin cos ＝sin －sin ＝sin 2x cos －cos 2x sin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin ， 故f＝sin ＝0. (2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝， ∴f(α)＝sin ＝， 又∵sin ＝<， ∴2α＋∈， ∴cos ＝－＝－， ∴sin 2α＝sin ＝sin (2α＋)cos －cos sin ＝×＋×＝. 【思维升华】　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． (2)形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 跟踪训练3 (2024·广东佛山质检)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<).从下面的两个条件中任选其中一个： ①f(x)＝－2sin2x＋2sin x cos x＋1； ②若f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，f(0)＝1.求解下列问题： (1)化简f(x)的表达式并求f(x)的单调递增区间； (2)已知α，β∈(，)，f(α)＝，sin (α－β)＝，求cos β的值． 解：(1)选择条件①：f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x＋1＝(cos 2x－1)＋sin 2x＋1＝cos 2x＋sin 2x＝2sin (2x＋). 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为 [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 选择条件②：若f(x1)＝2，f(x2)＝0，即x1是f(x)的最大值点，x2是f(x)的零点， 且|x1－x2|的最小值为，设f(x)的周期为T，由此可得＝，即T＝π，ω＝2. 由f(0)＝1，可得f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝. 可得φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)， 再结合|φ|<，可得φ＝. 综上，f(x)＝2sin (2x＋). 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)由f(α)＝2sin (2α＋)＝，可得sin (2α＋)＝， ∵α∈(，)，∴2α＋∈(，)， 从而可得2α＋＝，即有α＝. ∵β∈(，)， ∴α－β∈(－，). 由sin (α－β)＝，可得cos (α－β)＝. 故cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$