4 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第3节　三角恒等变换 [课标要求]　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式　► 对应学生用书P88 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 [点拨]　(1)必须在定义域内使用上述公式，tan α，tan β，tan (α±β)只要有一个不存在就不能使用． (2)公式中的α，β都是任意角，也可以是几个角的组合． (3)诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形． 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝(α≠＋，且α≠kπ＋，k∈Z). [提醒]　二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍． 3．辅助角公式 a sinx＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)sin α＋cos α＝sin .(　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(人教A版必修一·P219例4改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝. 3．(2021·全国高考乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝. 4．(苏教版必修二·P60练习T5)若tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝7. 答案：7 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　公式的直接应用 1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.∵α是第三象限角，∴sin α＜0，且sin α＝－＝－＝－， 因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 2．已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选A.∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan (π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan (α－β)＝＝＝－. 3．(2024·江苏扬州模拟)已知sin ＝sin ，则tan 2α＝(　　) A．－ B．－ C．± D．± 解析：选A.由sin ＝sin ，得cos α－sin α＝cos α，则tan α＝－，所以tan 2α＝＝＝－. 4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝. 5．(2024·济南联考)已知α∈，tan ＝，则sin (π－α)＝(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：选A.法一　由tan ＝＝＝，得tan α＝2， 又α∈，所以α∈. 因为tan α＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝， 又α∈，所以sinα＝， 所以sin (π－α)＝sin α＝. 法二　由tan ＝＝＝，得tan α＝2， 又α∈，所以α∈. 如图所示，易得sin α＝＝，所以sin (π－α)＝sin α＝. 法三　tan α＝tan ＝＝＝2， 因为α∈，所以α∈. 如图所示(图同法二)， 易得sin α＝＝，所以sin (π－α)＝sin α＝. 【思维升华】　利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号相反”． (2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 考点2　公式的逆用及变形用 　公式的逆用 [例1] (1)(2024·湖北武汉模拟)sin 109°cos 296°＋cos 71°sin 64°＝(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.sin 109°cos 296°＋cos 71°sin 64°＝sin (180°－71°)cos (360°－64°)＋cos 71°sin 64°＝sin 71°cos 64°＋cos 71°sin 64°＝sin (71°＋64°)＝sin 135°＝. (2)(2024·广西梧州模拟)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.因为＝＝tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－. 【思维升华】　逆用公式化简计算的技巧 (1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律，分析所求值式子与公式的异同，必要时对其进行转化、变形、常数替换等，创造条件逆用公式． (2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用． (3)注意整体思想的运用． 　辅助角公式的运用 [例2] (1)已知sin ＝，则sin x＋sin (x－)等于(　　) A．1 B．－1 C． D． 解析：选A.因为sin ＝，所以sin x＋sin ＝sin x＋sin x－cos x＝sin ＝1. (2)化简：①sin －cos ；②－. 解：①法一　原式＝2(sin －cos )＝2＝－2cos (＋)＝－2cos ＝－. 法二　原式＝2(sin －cos )＝2＝－2sin (－)＝－2sin ＝－. ②原式＝＝ ＝＝＝4. 【思维升华】　在辅助角公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中，当|a|＝|b|时，一般可引入辅助角φ＝；当||＝或||＝时，一般可引入辅助角φ＝或. 　公式的变形应用 [例3] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：选C.由题意，得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1. (2)(2024·徐州模拟)已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos (α－β)的值等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选C.sin α＋sin β＝⇒sin2α＋sin2β＋2sinαsin β＝　①，cos α＋cos β＝⇒cos2α＋cos2β＋2cosαcos β＝　②，①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝⇒cos (α－β)＝×＝－. (3)若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为________． 解析：∵α＋β＝，∴tan (α＋β)＝＝tan ＝－，∴tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，∴tan αtan β－tan α－tan β＝tan αtan β－(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋－tan αtan β＝. 答案： 【思维升华】　公式变形应用的技巧 两角和与差的正切公式及其变形将tan (α±β)，tan α±tan β，tan αtan β三者联系在一起，已知其中的两个或两个之间的关系，即可求出另外一个的值．在解决有关正切函数的求值问题时，如果所求式中含有两个非特殊角的正切且这两个非特殊角的和或差是特殊角，那么就可以考虑使用两角和与差的正切公式的变形进行求解． 跟踪训练1 (1)cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选B.由两角差的余弦公式，得cos (α－35°)·cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝. (2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________． 解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2， 所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，所以＝1，所以tan (α＋β)＝1， 所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以α可以为0，β可以为(答案不唯一). 答案：(答案不唯一) 考点3　角的变换问题 [例4] (1) 已知cos (75°＋α)＝，则cos (30°－2α)的值为________． 解析：cos (75°＋α)＝sin (15°－α)＝， ∴cos (30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝. 答案： (2)已知<β<α< ，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α的值． 解：∵ <β< ，∴－<－β<－. 又∵ <α< π，∴－π<α－β< . ∵α>β，∴α－β>0，∴0<α－β< . ∵cos (α－β)＝，∴sin (α－β)＝＝. ∵ <α<， <β<，∴π<α＋β<. ∵sin (α＋β)＝－， ∴cos (α＋β)＝－＝－. ∴cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos (α－β)cos (α＋β)－sin (α－β)sin (α＋β)＝×－×＝－. [变式] 本例(2)变为“已知α为锐角，cos (α＋15°)＝，求cos (2α－15°)”． 解：∵α为锐角，cos (α＋15°)＝，∴sin (α＋15°)＝. ∴sin (2α＋30°)＝2sin (α＋15°)cos (α＋15°)＝， cos (2α＋30°)＝2cos2(α＋15°)－1＝2×－1＝－. ∴cos(2α－15°)＝cos (2α＋30°－45°)＝cos (2α＋30°)cos 45°＋sin (2α＋30°)sin 45°＝－×＋×＝. 【思维升华】　角的变换策略与技巧 跟踪训练2 (1)已知α，β∈，若sin (α＋)＝，cos (β －)＝，则sin (α－β)的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可得α＋∈，β－∈， 所以cos ＝－，sin ＝－， 所以sin (α－β)＝－sin＝－×＋×＝. (2)(2024·青岛模拟)若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝________，tan α＝________． 解析：∵tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)＝＝＝－1，tan α＝tan (α＋β－β)＝＝. 答案：－1　 学科网（北京）股份有限公司 $$