4 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第四章　　　　　三角函数 第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念　► 对应学生用书P81 [课标要求]　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．任意角 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． (4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． [思考]　终边相同的角是否一定相等？反之呢？ 提示：相等的角其终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们之间相差360°的整数倍． [提醒]　 2．弧度制 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°． (3)扇形的弧长公式：l＝|α|r， 扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2. [提醒]　利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3． 任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).把 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α 点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tan α 定义域 R R {x＋ kπ，k∈Z} 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(北师大版必修二·P10例1(2))－660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 解析：选C.－660°＝－660× rad＝－π rad. 3．(北师大版必修二·P8习题1－2A组T2改编)下列各角中，与－457°是同一象限角的是(　　) A．600° B．520° C．－190° D．－380° 解析：选A.－457°是第三象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－190°是第二象限角，－380°是第四象限角． 4．(人教A版必修一·P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________． 解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＋＝－＝－. 答案：－ 5．(人教B版必修三·P12练习BT6改编)已知扇形的圆心角为2 rad，半径为5 cm，则此扇形的面积为________． 解析：扇形面积S＝lr＝|θ|r2＝×2×52＝25 cm2. 答案：25 cm2 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　象限角与终边相同的角 1．(多选)下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C.第三象限角的集合为{α|π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z} D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 解析：选AD.A项显然正确； B项，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误； C项，第三象限角的集合为{α|π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}，故错误； D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，解得－≤k＜－(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确． 2．(多选)下列与角－终边相同的角是(　　) A. B. C. D．－ 解析：选BD.与角－终边相同的角的集合是 {α|α＝－π＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝π；当k＝－1时，α＝－π. 3．已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.∵角θ是第二象限角，∴θ∈，k∈Z，∴∈(kπ＋，kπ＋)，k∈Z，∴角在第一或第三象限．又＝－sin ，∴sin ＜0，∴角在第三象限． 4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是 ，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个 ， ；在[－2π，0)内满足条件的角有两个－，－，故满足条件的角α构成的集合为{－，－，，}． 答案： 5．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：选C.当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴； 当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤， 故角的终边在第三象限或y轴的负半轴， 综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上． 【思维升华】　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 考点2　弧度制及其应用 [例1] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)因为α＝，R＝10 cm，所以l＝|α|R＝×10＝(cm). (2)法一　由已知，得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5(cm)时，S取得最大值， 此时l＝10(cm)，α＝2 rad. 法二　S＝lR＝l·2R≤·＝25， 当且仅当l＝2R，即R＝5(cm)时，S的最大值是25 cm2，此时扇形的圆心角α＝2 rad. (3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2. 【思维升华】　应用弧度制解决问题的策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 跟踪训练1 (1)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是(　　) A．＋ B．2π＋2 C．－ D．2π－2 解析：选D.由已知得＝＝＝，则AB＝BC＝AC＝2，故扇形的面积为，弓形AB的面积为－×22＝－，∴所求面积为3(－)＋×22＝2π－2. (2)(2023·浙江名校联考)如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图2是会徽的几何图形，设弧的长度是l1，弧的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.设∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，则l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，又＝2，所以＝2，即B是OA的中点，所以S1＝θ(r－r)＝θr，S2＝θr，所以＝3. 考点3　三角函数的定义及应用 　三角函数的定义 [例2](1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 解析：选ACD.角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确． (2)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则sin α的值为________． 解析：在直线2x－y＝0上取不同于坐标原点的点P(m，2m)(m≠0). 当m>0时，点P到原点的距离r＝＝m，所以sin α＝＝； 当m<0时，点P到原点的距离r＝＝－m，所以sin α＝＝－.综上，sin α的值为±. 答案：± [变式] 本例(2)条件变为“已知角α终边经过P(－3，y)且tan α＝”，问题不变． 解：∵α的终边经过点P(－3，y)且tan α＝， ∴tan α＝＝， ∴y＝－4，即P(－3，－4)，sin α＝－. 【思维升华】　 　三角函数值的符号 [例3] (1)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选B.由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，由>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角． (2)(多选)(2024·福建福州华侨中学模拟)给出下列各三角函数值：①sin (－100°)；②cos (－220°)；③tan (－10)；④cos ，其中符号为负的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：选ABC.对于①，因为－180°<－100°<－90°，所以－100°是第三象限角，所以sin (－100°)<0；对于②，因为－270°<－220°<－180°，所以－220°是第二象限角，所以cos (－220°)<0；对于③，因为－<－10<－3π，所以－10是第二象限角，所以tan (－10)<0；对于④，因为是第一象限角，所以cos >0.所以符号为负的是①②③. 【思维升华】　三角函数值符号及角的位置判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 　利用三角函数的定义求参数 [例4] (1)(2024·重庆市模拟)角α终边上有一点P(m，2)，则“cos α＝－”是“m＝－”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.角α终边上有一点P(m，2)，cos α＝＝－<0，解得m＝－，所以“cos α＝－”是“m＝－”的充要条件． (2)(2024·山东泰安模拟)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________． 解析：设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝. 答案：－　或－ 【思维升华】　已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，从而求出参数的值． 跟踪训练2 (1)点P从(1，0)位置出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A．(，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，) 解析：选A.由题意可知r＝1，根据三角函数的定义可知x＝r cos ＝，y＝r sin ＝，所以点Q的坐标为(，). (2)(2024·无锡调考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.∵点P(sin α，tan α)在第四象限， ∴sin α＞0，tan α＜0，∴角α的终边在第二象限． (3)(2024·中卫模拟)已知角θ的终边经过点P(，a)，若θ＝－，则a＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.由已知得tan θ＝＝tan ，所以＝－，所以a＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$