3 培优拓展（6）洛必达法则(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

　　　　　　　　　　　　 培优拓展(六) 洛必达法则 函数与导数应用的问题中求参数的取值范围是重点考查题型．在平时教学中，往往介绍利用变量分离法来求解．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“”型的代数式，而这是数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则． [洛必达法则] 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝l，那么＝＝l. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝l，那么＝＝l. [典例] 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝－， 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 故即 解得 (2)由题设可得，当x>0，x≠1时，k<＋1恒成立． 令g(x)＝＋1(x>0，x≠1)，则g′(x)＝2·， 再令h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，x≠1)， 则h′(x)＝2x ln x＋－x，又h″(x)＝2ln x＋1－， 易知h″(x)＝2ln x＋1－在(0，＋∞)上为增函数，且h″(1)＝0， 故当x∈(0，1)时，h″(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h″(x)>0， ∴h′(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故h′(x)>h′(1)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数． 又h(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0， ∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知， g(x)＝2＋1＝2＋1＝2×＋1＝0，∴k≤0， 故k的取值范围为(－∞，0]. 【思维升华】　1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立． 2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型． 3．在着手求极限前， 首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型定式， 否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时， 就不能用洛必达法则， 这时称洛必达法则不适用， 应从另外途径求极限． 4．若条件符合， 洛必达法则可连续多次使用， 直到求出极限为止．＝＝，如满足条件，可继续使用洛必达法则． [对点练]　(1)设函数f(x)＝1－e－x，当x≥0时，f(x)≤，求a的取值范围． 解：由f(x)≤，得a≤＝， 设t(x)＝(x－1)ex＋1(x>0)，得t′(x)＝xex>0(x>0)，所以t(x)是增函数，t(x)>t(0)＝0(x>0). 又设h(x)＝x(ex－1)(x>0)，得h′(x)＝(1＋x)ex－1>0(x>0)，所以h(x)是增函数，h(x)>h(0)＝0(x>0). 再设g(x)＝(x>0)， 连续两次使用洛必达法则1，得g(x)＝＝＝， 所以g(x)的下确界是，即g(x)>(x>0). 题设即“当x>0时，1－e－x≤恒成立”，所求a的取值范围是. (2)定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点， 所以等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根， 所以等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点． g′(x)＝， x (0，1) (1，＋∞) g′(x) ＋ － 所以g(x)的最大值为g(1)＝1. 因为x→0时，g(x)→－∞； x→＋∞时，由洛必达法则可知： g(x)＝＝＝0， 所以0<a<g(1)， 所以0<a<1. (3)已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解：f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，当x＝1时，不等式成立，当x>1时，a≤， 令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝， 因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0，故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增， 则y＝x2－1－2ln x>0，故g′(x)＝>0. 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 则g(x)>g(1)，由洛必达法则知＝＝. 所以由a≤恒成立，则a≤. (4)已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R). ①若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值． ②当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围． 解：①f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，依题意知f′(－1)＝2a－1＝0， ∴a＝. ②当x>0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，即ax≤ex－1，即a≤恒成立， 令h(x)＝(x>0)， ∴h′(x)＝， 令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)， ∴k′(x)＝ex·x>0， ∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴k(x)>k(0)＝0，∴h′(x)>0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知，h(x)＝＝ex＝1，∴a≤1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$