3 第3节 导数与函数的极值、最值(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第3节　导数与函数的极值、最值　► 对应学生用书P65 [课标要求]　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．　2.会用导数求函数的极大值、极小值．　3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的极值 (1)定义 满足条件 极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 极值与极值点 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． [提醒]　对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [点拨]　1.函数最值与极值的区别 (1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能有多个，也可能没有； (2)极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值． 2．如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　　 ) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　 ) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　 ) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　 ) (5)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2.(人教B版选择性必修三·P100练习AT1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个． 3．(人教A版选择性必修二·P104T9改编)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________． 解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点， ∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 4．(人教A版选择性必修二·P98T6改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 因为x∈，所以f′(x)＜0， 故f(x)在上单调递减， 所以f(x)的最大值为f＝，最小值为f(1)＝－10. 答案：　－10 5．(人教A版选择性必修二·P104T8改编)若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________． 解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 答案：4 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用导数研究函数的极值 　根据图象判断函数的极值 [例1] (多选)(2024·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　 ) A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2，1]上单调递增 C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1，2]上不具备单调性 解析：选AC.由导函数f′(x)的图象可知， 当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x＝－1时，f′(x) ＝0； 当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增； 当x＝2时，f′(x)＝0； 当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x＝4时，f′(x)＝0， 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确； f(x)在[－2，1]上有减有增，故选项B错误； 当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确； f(x)在[－1，2]上单调递增，故选项D错误． 【思维升华】　由函数的图象判断函数的极值，要抓住两点：(1)由函数的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；(2)由导函数的图象可以看出导函数值的正负，从而可以判断出函数的单调性，两者结合可得极值点． 　求已知函数的极值 [例2] (2024·九省新高考适应性考试)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a； (2)求f(x)的单调区间和极值． 解：(1)因为f′(x)＝＋2x＋a，所以f′(2)＝＋a，又直线2x＋3y＝0的斜率为－，且f(x)在(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直，则(＋a)×(－)＝－1，解得a＝－3. (2)由(1)可知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，x>0，令f′(x)＝＋2x－3＝＝＝0，解得x＝或1，故f(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)极大值＝f()＝ln ＋，f(x)极小值＝f(1)＝0. 【思维升华】　求函数f(x)极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数在定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值． 　已知函数的极值求参数的值(范围) [例3] (1)(2024·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．2或6 解析：选A.由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6. 若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意； 若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2，6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意． 综上，c＝2. (2)(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，若x1<x2，则a的取值范围是____________． 解析：f′＝2ln a·ax－2ex， 因为x1，x2分别是函数f＝2ax－ex2的极小值点和极大值点， 所以函数f在和(x2，＋∞)上递减，在上递增， 所以当x∈∪时，f′<0，当x∈时，f′>0. 若a>1时， 当x<0时，2ln a·ax>0，2ex<0， 则此时f′>0，与前面矛盾， 故a>1不符合题意； 若0<a<1时， 则方程2ln a·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2， 即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2， 即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 令g＝ln a·ax，则g′＝ln2a·ax，0<a<1， 设过原点且与函数y＝g的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为g′＝ln2a·ax0， 故切线方程为y－ln a·ax0＝ln2a·ax0， 则有－ln a·ax0＝－x0ln2a·ax0， 解得x0＝， 则切线的斜率为ln2a·a＝eln2a， 因为函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 所以eln2a<e，解得<a<e， 又0<a<1，所以<a<1， 综上所述，a的范围为. 答案： 【思维升华】　根据函数极值情况求参数的值或取值范围的方法 (1)如果一个函数是可导函数，那么在其极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件，当已知函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解，并检验极值点两侧导数是否异号． (2)若函数f(x)在区间I上有极值点，则f′(x)在区间I上有变号的零点，亦即方程f′(x)＝0有满足相应条件的实数根，从而可转化为方程有解问题，也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解． 跟踪训练1 (1)(多选)(2024·辽宁锦州模拟)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(－2)>f(－1) B．1是f(x)的极小值点 C．函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D．－3是f(x)的极大值点 解析：选AD.由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)>f(－1)，－3是f(x)的极大值点，所以A，D正确；当x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，因此函数f(x)在(－1，1)上没有极大值，且1不是f(x)的极小值点，所以B，C不正确． (2)(2024·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由f(x)＝ex－ax2－2ax， 得f′(x)＝ex－2ax－2a. 因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点， 所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点， 令f′(x)＝0，得＝； 设g(x)＝，y＝， 则g′(x)＝－， 令g′(x)＝0，即－＝0，解得x＝0， 当x>0时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)>0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示， 由图可知，0<<1，解得a>， 所以实数a的取值范围为. (3)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). ①当a＝时，求f(x)的极值； ②讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：①当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． ②由①知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝. 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，若x∈，则f′(x)>0， 若x∈，则f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 考点2　利用导数研究函数的最值 　求已知函数的最值 [例4] 已知函数f(x)＝＋k ln x，k<，求函数f(x)在[，e]上的最大值和最小值． 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝. ①若k≤0，则在[，e]上恒有f′(x)<0，所以f(x)在[，e]上单调递减． ②若0<k<，则f′(x)＝＝，由k<，得>e，则x－<0在[，e]上恒成立，所以<0在[，e]上恒成立，所以f(x)在[，e]上单调递减． 综上，当k<时，f(x)在[，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f()＝e－k－1. [变式] 若本例条件中的“k<”改为“k≥”，则函数f(x)在[，e)上的最小值是多少？ 解：f′(x)＝＝， ∵k≥，∴0<≤e， 若0<≤，即k≥e时，f′(x)≥0在[，e)上恒成立，f(x)在[，e)上单调递增，f(x)min＝f()＝e－k－1. 若<<e，即<k<e时，f(x)在[，]上单调递减，在[，e)上单调递增，f(x)min＝f()＝k－1－k ln k. 当k＝时，f(x)在[，e)上单调递减，无最小值． 综上，当<k<e时，f(x)min＝k－1－k ln k，当k≥e时，f(x)min＝e－k－1，当k＝时，f(x)在[，e)上无最小值． 【思维升华】　导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤 (1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求f(x)在给定区间上的端点值； (4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值． 　由函数的最值求参数的值(范围) [例5] (2024·苏州模拟)函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________． 解析：由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，则即－2≤a＜1. 答案：[－2，1) 【思维升华】　(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． (2)若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 跟踪训练2 (1)(2022·全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 解析：选D.f′＝－sin x＋sin x＋cos x＝cos x， 所以在区间和上f′>0，即f单调递增； 在区间上f′<0，即f单调递减， 又f＝f＝2，f＝＋2，f＝－＋1＝－， 所以f在区间上的最小值为－，最大值为＋2. (2)已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________． 解析：因为f′(x)＝a－＋＝，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)是(0，＋∞)上的减函数，函数f(x)无最小值，不符合题意；当a>0时，由f′(x)<0，得0<x<，由f′(x)>0，得x>，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)的最小值为f＝1＋a＋(1－a)ln a，由1＋a＋(1－a)ln a＝2，得(a－1)·(1－ln a)＝0，解得a＝1或e. 答案：1或e 考点3　利用导数解决实际问题 [例6] 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产品，月固定成本为1万元，设此工厂一个月内生产该特殊产品x万件并全部销售完．根据当地政府要求产量x满足1≤x≤3，每生产x万件需要再投入3x万元，每1万件的销售收入为(5－x2)万元，且每生产1万件产品政府给予补助(1＋)万元．(注：月利润＝月销售收入＋月政府补助－月总成本) (1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式； (2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量(万件). 解：(1)设该工厂一个月内生产该特殊产品x万件，依题意，f(x)＝x(5－x2)＋x(1＋)－3x－1＝－x3＋3x＋2ln x－1，所以利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式为f(x)＝－x3＋3x＋2ln x－1，1≤x≤3. (2)f′(x)＝－x2＋3＋＝－＝－， 所以当1≤x<2时，f′(x)>0，函数f(x)在区间[1，2)上单调递增；当2<x≤3时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(2，3]上单调递减，所以当x＝2时，函数在区间[1，3]上取得最大值f(2)，f(2)＝＋2ln 2. 故该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为(＋2ln 2)万元，此时的月生产量为2万件． 【思维升华】　在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点就是最值点． 跟踪训练3 甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶． 解析：设全程运输成本为y元， 由题意，得y＝＝240，v>0， y′＝240. 令y′＝0，得v＝80. 当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0. 所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增， 所以当v＝80时，全程运输成本最小． 答案：80 学科网（北京）股份有限公司 $$