3 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第三章　　一元函数的导数及其应用 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算　► 对应学生用书P57 [课标要求]　1.了解导数概念的实际背景．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．变化率 (1)定义式：＝； (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比； (3)作用：刻画函数值在区间[x1 ，x2]上变化的快慢； (4)几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，则＝平均变化率表示割线P1P2的斜率． [提醒]　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 2．瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 3．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . [提醒]　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 4．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率，相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). [思考]　“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别？ 提示：“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的含义是不同的．“曲线在点P处的切线”时，点P是曲线上的点，且点P就是切点；而“曲线过点P的切线”时，点P不一定在曲线上，点P不一定是切点． 5．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax__ln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [提醒]　函数的解析式中含有根式的，在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数． 6．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 7．复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　 ) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　 ) (3)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是5t.(　　 ) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)(人教A版选择性必修二·P77例4改编)下列导数的运算中正确的是(　　 ) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x3ex)′＝3x2ex＋x3ex C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：选ABD.因为′＝，所以C项错误，其余都正确． 3．(人教B版选择性必修三·P91习题6－1CT2改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． D． 解析：选D.f′(x)＝e·′＝ex－，所以f′(1)＝. 4. (2021·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为__________． 解析：由题知，当x＝－1时，y＝－3，故点(－1，－3)在曲线上， 求导得y′＝＝， 所以y′|x＝－1＝5，故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 5．(北师大版选择性必修二·P61习题2－2B组T2改编)曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为________________． 解析：∵y＝－3ln x，x>0，∴y′＝x－，由y′＝x－＝－2，可得x＝1，x＝－3(舍去)，当x＝1时，y＝，∴曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为y－＝－2(x－1)，即4x＋2y－5＝0. 答案：4x＋2y－5＝0 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　导数的运算 1．已知f(x)＝2x ln x－f′(1)x，则f(e)＝(　　 ) A．e B．0 C．－e D．－1 解析：选A.f′(x)＝2ln x＋2－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2ln 1＋2－f′(1)，解得f′(1)＝1，所以f(x)＝2x ln x－x，f(e)＝2eln e－e＝e. 2．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________． 解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1. 答案：1 3．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 解析：f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4. 答案：或－4 4．求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝； (4)y＝sin . 解：(1)y＝(1－2x)－，设y＝u－，u＝1－2x，则y′x＝y′uu′x＝(u－)′(1－2x)′ ＝·(－2)＝(1－2x)－. (2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′uu′x＝(log2u)′(2x＋1)′＝×2＝， 即y′＝. (3) 把函数的解析式整理变形可得： y＝＝＝1－， 所以y′＝－＝. (4)设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos (2x＋). 【思维升华】　导数计算的方法 ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． ⑥分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；求每一层基本初等函数的导数；每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数． 考点2　导数的几何意义及其应用 　求切线方程 [例1] (2022·新高考Ⅱ卷)写出曲线y＝ln |x|过坐标原点的切线方程：________，________． 解析：因为y＝ln ， 当x>0时y＝ln x，设切点为，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝，即y＝x； 当x<0时y＝ln ，设切点为(x1，ln )，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln ＝， 又切线过坐标原点，所以－ln ＝，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝，即y＝－x. 答案：y＝x　y＝－x 【思维升华】　利用导数的几何意义求切线方程的方法 　求切点坐标或参数的值 [例2] (1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　 ) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 解析：选C.设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P为(1，3)或(－1，3). (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________． 解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex， 设切点为，则y0＝ex0，切线斜率k＝ex0， 切线方程为：y－ex0＝(x0＋1＋a)ex0， ∵切线过原点，∴－ex0＝(x0＋1＋a)ex0， 整理得：x＋ax0－a＝0， ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 答案：∪ 【思维升华】　1.求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 2．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 　导数与函数图象的关系 [例3]函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　 ) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 解析：选D.如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0. 【思维升华】　函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．如果f′(x0)>0，则函数f(x)的图象在x＝x0处呈现上升趋势，f′(x0)<0，则函数f(x)的图象在x＝x0处呈现下降趋势．f′(x0)的绝对值越大，函数f(x)的图象在x＝x0处上升(下降)趋势越陡峭， f′(x0)的绝对值越小，函数f(x)的图象在x＝x0处上升(下降)趋势越平缓． 跟踪训练1 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D. y＝x＋ 解析：选C.设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝，所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y＝x＋. (2)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　 ) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析：选C.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2). (3)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 答案：2 考点3　两曲线的公切线问题 [例4] (1)设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　 ) A．－1 B．－ C． D． 解析：选B.因为y＝ln x，所以y′＝，又因为切线的斜率为1，所以y′＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1.因为y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切线方程得y＝－－a，再将代入y＝(x＋a)2，解得a＝－. (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_______________． 解析：设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)， 则y1＝ex1，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝ex1， ∴切点为(x1，ex1)，切线斜率k＝ex1， ∴切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)， 即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1，① 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， ∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝，∴g′(x2)＝，切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝，∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，② 由题意知，①与②相同，∴ 把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1， 即(1－x1)(ex1－1)＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex， 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. 答案：y＝ex或y＝x＋1 【思维升华】　解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2 (x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 跟踪训练2 (1)(2023·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　 ) A．4 B．8 C．2 D．1 解析：选B.y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. (2)(2023·江西五校联考)若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0] C．(－∞，1] D．(－∞，2] 解析：选C.f′(x)＝＋a，g′(x)＝2x，设公切线与g(x)的图象的切点为(s，t)，与f(x)的图象的切点为(m，n)(m＞0)，则公切线的斜率k＝2s＝＋a＝，又t＝s2，n＝ln m＋am，所以n－t＝2sm－2s2＝1＋am－2s2＝1＋am－2t，则n＝1＋am－t＝ln m＋am，t＝1－ln m＝s2，ln m＝1－s2，可得m＝e1－s2，a＝2s－＝2s－es2－1.设h(s)＝2s－es2－1，则h′(s)＝2－2ses2－1＝0，得s＝1，当s＞1时，h′(s)＜0，h(s)在(1，＋∞)上单调递减，当s＜1时，h′(s)＞0，h(s)在(－∞，1)上单调递增，所以h(s)max＝h(1)＝2－1＝1，故a≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $$