2 培优拓展（4）嵌套零点问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

培优拓展(四) 嵌套零点问题 嵌套函数和一些复杂的分段函数求零点是一种常考题型．在解关于x的方程g[f(x)]＝0根(或根的个数)时，要分两层来分析，第一层是解关于g(t)＝0的方程，第二层是解f(x)＝t的方程，将x的个数汇总后即为g[f(x)]＝0根的个数．综合考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养. 题型突破 题型一　嵌套函数零点个数的判断 [例1] (1)(2024·山东聊城模拟)已知1<a< ，f(x)＝则方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.因为4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0，所以[2f(x)－1][2f(x)－a]＝0， 所以f(x)＝或f(x)＝，画出f(x)的大致图象，如图， 因为>，所以<<<， 因为直线y＝与函数y＝f(x)的图象有1个交点， 直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个交点， 故方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是3. (2)已知定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A.因为定义域为(0，＋∞)的增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x，于是得f(t)＝t＋ln t＝1，而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，t＋ln t＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋ln x，方程f(x)＝－x2＋4x－2⇔1＋ln x＝－x2＋4x－2⇔ln x＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点的个数，在同一坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象如图，观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3. (3)(2024·辽宁沈阳期中)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2的零点个数为(　　 ) A．3 B．4 C．2 D．1 解析：选A.令μ＝f(x)，令g(x)＝0，则f(μ)－2＝0，当μ＞1时，f(μ)＝ln (μ－1)，则ln (μ－1)－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f(μ)＝－μ＋1，则－μ＋1－2＝0，μ＝－1，作出函数μ＝f(x)的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f(x)的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f(x)的图象有2个交点，因此函数g(x)有3个零点． 【思维升华】　(1)通过直接解关于x的方程f(g(x))＝0进行求解． (2)通过画出函数f(g(x))的图象，并判断该函数的图象与x轴的交点个数进行求解． (3)将方程f(g(x))＝0构造成h(x)＝u(x)形式，即转化为函数h(x)，u(x)的图象交点个数进行求解． (4)换元法：令t＝g(x)，设f(t)＝0的实根为ti(i＝1，2，…)，则f(g(x))＝0的实根个数等价于直线y＝ti与函数g(x)图象的交点个数总和或关于x的方程ti＝g(x)的实根个数总和．即首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数． [对点练1]　(1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.由g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2＝0，得f(x)＝2或f(x)＝－.当x≥0时，f′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝4－6＋1＝－1.又x＜0时，f(x)＝ex，画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为3. (2)若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数，且方程x－f(g(x))＝0有实数解，则g(f(x))不可能是(　　 ) A．ex－1 B．cos x C．|x|＋1 D． 解析：选C.设s为x－f(g(x))＝0的实数解，即f(g(s))＝s，令g(s)＝t，则f(t)＝s，所以g(f(t))＝g(s)＝t，即t为g(f(x))＝x的实数解，g(f(x))＝x有实数解，故结合各选项的函数，判断其图象与直线y＝x是否有交点即可，如图所示．由图可知，当g(f(x))＝|x|＋1时，无交点，即g(f(x))＝x无实数解． (3)设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－的零点个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.函数f(x)＝的图象如图所示，由y＝f(f(x))－＝0，得f(f(x))＝，令f(x)＝t，则f(t)＝，当t≤0时，3t＋2＝，得t＝－；当t＞0时，lg t＝，则t＝ ，所以当t＝－时，f(x)＝－，由图象可知方程有两个实根；当t＝ 时，f(x)＝ ，由图象可知，方程有1个实根．综上，方程f(f(x))＝有3个实根，所以函数y＝f(f(x))－的零点个数为3. (4)已知函数f(x)＝则函数y＝[f(x)]2－mf(x)＋m的零点个数不可能是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.函数y＝f(x)的图象如图， 令f(x)＝t，则函数y＝[f(x)]2－mf(x)＋m的零点即方程组的解．设g(t)＝t2－mt＋m，则Δ＝m2－4m＝m(m－4).若m＜0，则Δ＞0，g(t)有两个零点t1，t2，且由g(0)＝m＜0，g(1)＝1＞0，知t1＜0，0＜t2＜1，此时方程组有2个解；若m＝0，则Δ＝0，g(t)有一个零点t＝0，此时方程组有1个解；若0＜m＜4，则Δ＜0，g(t)没有零点，此时方程组无解；若m＝4，则Δ＝0，g(t)有一个零点t＝2，此时方程组有2个解；若m＞4，则Δ＞0，g(t)有两个零点t1，t2，且由g(1)＝1＞0，g(2)＝4－m＜0，知1＜t1＜2＜t2，此时方程组有4个解． 题型二　根据嵌套函数零点的个数求参数的取值范围 [例2] (1)已知函数f(x)＝若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋的零点个数为4，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(，]∪ 　B． C．(，]∪ 　D． 解析：选D.f(x)的图象如图所示． 令f(x)＝t，因为F(x)＝f2(x)－2af(x)＋有4个不同的零点，故t2－2at＋＝0有解，设为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝.由题设可得关于x的方程f(x)＝t1和f(x)＝t2共有4个不同的解，故(舍去)，或或(舍去).所以解得a>. (2)(2024·河北衡水联考)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R，若函数g(x)＝f(f(x))－f(x)＋m有两个不同的零点，则m的取值范围是________． 解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，设f(x)＝t，则当t＞－1时，f(x)＝t有两解，g(x)＝f(t)－t＋m＝t2－2t－t＋m，由题意得t2－3t＋m＝0在(－1，＋∞)上有一解或两个相等的实数解．当Δ＝9－4m＝0，即m＝时，t1＝t2＝，满足题意；当Δ＞0，即m＜时，t2－3t＋m＝0有两解，一解大于－1，另一解小于－1，则1＋3＋m＜0，m＜－4.综上，m＝或m＜－4. 答案：(－∞，－4)∪ (3)已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)－2x－2x)＝10.若函数g(x)＝有3个零点，则a的取值范围为________． 解析：因为f(x)为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的t∈R，使得f(t)＝10，则f(x)－2x－2x＝t，f(t)－2t－2t＝t，即f(t)＝2t＋3t＝10，因为函数y＝2t＋3t为增函数，且22＋3×2＝10，所以t＝2，f(x)＝2x＋2x＋2.当x≤0时，由g(x)＝0，得a＝2x＋2；当x＞0时，由g(x)＝0，得a＝|log2x|－1.结合函数的图象可知，若g(x)有3个零点，则a∈(2，3]. 答案：(2，3] 【思维升华】　已知嵌套函数的零点个数求参数范围，先估计关于f(x)的方程g(f(x))＝0中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图象特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围． [对点练2]　(1)(2023·黑龙江大庆期末)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x)＋m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为(　　 ) A．(－∞，－24] B．(－∞，28] C． D．(－24，＋∞) 解析：选A.画出f(x)的函数图象如图， 令t＝f(x)，则由图可知要使g(x)有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以解得m≤－24. (2)已知函数f(x)＝e|x|－，g(x)＝若关于x的方程g(f(x))－m＝0有四个不同的解，则实数m的取值范围为(　　 ) A． B． C． D．(0，1) 解析：选A.因为f(－x)＝e|－x|－＝e|x|－＝f(x)，所以t＝f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－为增函数，所以当x＜0时，t＝f(x)为减函数，所以tmin＝f(0)＝e0－＝，即t≥.当x＞0时，g(x)＝(x－1)ln x，则g′(x)＝ln x＋(x－1)＝ln x＋，令g′(x)＝0，解得x＝1，所以当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，又g＝－ln ＝，作出x＞0时g(x)的图象，如图1所示． 所以当m∈时，y＝g(t)，t≥的图象与y＝m的图象有2个交点，且设为t1，t2，作出t＝f(x)的图象，如图2所示，当m＝时，t1＝，t2＞，此时g(f(x))－m＝0有三个不同的解，不满足题意；当m∈时，t1＞，t2＞，此时y＝t1与y＝t2分别与y＝f(x)有2个交点，即g(f(x))－m＝0有四个不同的解，满足题意．综上，实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$