2 培优拓展（3）指、对、幂的大小比较(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

培优拓展(三) 指、对、幂的大小比较 题型突破 题型一　利用图象与性质比较大小 比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用． [例1] 设a＝5－0.7，b＝log，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 解析：选D.结合函数y＝5x，y＝logx，y＝lg x的图象易知0<a＝5－0.7<50＝1，b＝log>log＝1，c＝lg <lg 1＝0，所以b>a>c. 【思维升华】　利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关系，以便比较大小． [例2] 若a＝，b＝log52，c＝e－，则(　　 ) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a 解析：选C.结合指数函数y＝的图象易知a＝>1；结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52<log5＝；又c＝e－＝∈，所以b<c<a. 【思维升华】　本题易错点是不会借助中间桥梁，比较log52与e－的大小．由于log52与e－均在区间(0，1)内，故需要寻找一个新的中间桥梁“”，以便顺利获解． [对点练1]　(1)若a＝ln (ln )2，b＝2ln (ln 2)，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选D.因为a＝2ln (|ln |)＝2ln (ln )，b＝2ln (ln 2)，c＝2ln 2，函数f(x)＝2ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，0<ln <ln 2<1<2，所以a<b<c. (2)(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A.因为a＝log323<log39＝＝c，b＝log533>log525＝＝c，所以a<c<b. (3)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A.由题意可知a、b、c∈(0，1)， ＝＝·<·()2＝()2＝()2<1， ∴a<b； 由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<； 由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>.综上所述，a<b<c. 题型二　巧解涉及三元变量的比较大小问题 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解． [例3] 设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　 ) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 解析：选A.法一(中间值法)　令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝， 所以3y＝，2x＝，5z＝. 因为＝>＝，＝>＝， 所以lg >lg >lg >0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法二(特值法)　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z. 【思维升华】　本例可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁、明了；关键根据对数换底公式，将x，y，z写成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比较，也可借助中间值比较大小．当然解题时也可直接取一个固定的k值． [例4] 设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则，，的大小关系不可能是(　　 ) A．<< B．<< C．＝＝ D．<< 解析：选B.法一　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正确． 取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确． 取x＝ ，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时选项D正确． 综上，利用排除法可知本题应选B. 法二　设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. 又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论． 若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确． 若0<k<1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1>3k－1>5k－1，所以<<，所以选项D有可能正确． 若k>1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项A有可能正确． 综上，利用排除法可知选B. 【思维升华】　本例可取特例，在特例的基础上，结合排除法解答；也可借助设元变形，先将目标问题等价转化为考查2k－1，3k－1，5k－1的大小，再对幂函数f(x)＝xk－1的单调性加以讨论分析． 提醒：幂函数y＝xa在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若a>0，则单调递增；②若a＝0，则为常数函数；③若a<0，则单调递减． [对点练2]　(1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　 ) A.a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析：选A.由9m＝10可得m＝log910＝>1，而lg 9lg 11<＝<1＝，所以>，即m>lg 11，所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0. 又lg 8lg 10<＝<，所以>，即log89>m， 所以b＝8m－9<8log89－9＝0. 综上，a>0>b. (2)已知2 020a＝2 021，2 021b＝2 020，c＝ln 2，则(　　 ) A．logac>logbc B．logca>logcb C．ac<bc D．ca<cb 解析：选D.由题意知，a＝log20202 021>1>b＝ log20212 020>0，而0<c＝ln 2<1，所以y＝logcx在定义域内单调递减，则logca<0<logcb，故B错误；logac＝<0<＝logbc，故A错误；由y＝xc在第一象限单调递增知ac>bc，故C错误；由y＝cx在定义域内单调递减知ca<cb，故D正确． (3)(2024·淄博一模)若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　 ) A．x<y<z B．z<x<y C．y<x<z D．z<y<x 解析：选D.因为4x＝5y＝20，根据指数与对数的关系和y＝logax(a>1)为增函数可知，x＝log420>log416＝2，故x>2，y＝log520，由log55<log520<log525，即1<log520<2，故1<y<2，所以1<y<x，可得logxy<logxx＝1，即z<1，综上z<y<x. 学科网（北京）股份有限公司 $$