2 第8节 函数与方程(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第8节　函数与方程　　　　　► 对应学生用书P48 [课标要求]　1.理解函数的零点与方程的解的关系．　2.了解函数零点存在定理，并能简单应用．　3.了解用二分法求方程的近似解． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． [提醒]　函数的零点不是一个点，而是一个实数． 2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [提醒]　(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． [思考]　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，y＝f(x)在(a，b)内有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？ 提示：不一定．例如，函数f(x)＝x2－1在区间[－2，2]上的图象是连续不断的一条曲线，且在(－2，2)内有零点，但f(－2)f(2)>0. 事实上，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　 ) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)＜0.(　　 ) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　 ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac＜0，则f(x)无零点．(　　 ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．(多选)(人教A版必修一·P143例1改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　 ) A．(1，2) B．(2，3) C．(5，6) D．(5，7) 解析：选BCD.由所给的函数值表知，f(1)f(2)＞0，f(2)f(3)＜0，f(5)f(6)＜0，f(5)f(7)＜0，∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点． 3．(苏教版必修一·P216练习T2改编)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．2 B．－2，0 C． D．0 解析：选D.当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去).综上，函数的零点为0. 4．(北师大版必修一·P131例1改编)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A． B． C． D．(1，2) 解析：选C.易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln ＋＝ln ，又＝81e<44＝256， ∴f＝ln <0，∵f(1)＝ln 1＋1－＝>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为. 5．(湘教版必修一·P132T6改编)方程2x＋x＝k在(1，2)内有解，则实数k的取值范围是________． 解析：设f(x)＝2x＋x，∴f(x)在(1，2)上单调递增，又f(1)＝3，f(2)＝6，∴3＜k＜6. 答案：(3，6) 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数零点所在区间的判定 1．函数f(x)＝e－x－x的零点所在的区间是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.易知函数f(x)＝e－x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，又f＝－＞0，f(1)＝－1＜0，∴ff(1)＜0，∴函数f(x)＝e－x－x的零点所在的区间是. 2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 3．(多选)记函数f(x)＝x＋ln x的零点为x0，则关于x0的结论正确的为(　　) A．0<x0< B．<x0<1 C．e－x0－x0＝0 D．e－x0＋x0＝0 解析：选BC.由于函数f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且f＝－ln 2<0，f(1)＝1>0，∴<x0<1，故A选项错误，B选项正确．由于x0是函数f(x)＝x＋ln x的零点，则x0＋ln x0＝0，即ln x0＝－x0，∴x0＝e－x0，即e－x0－x0＝0，则e－x0＋x0＝2e－x0>0，故C选项正确，D选项错误． 4．已知2＜a＜3＜b＜4，函数y＝logax与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析：依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2＜a＜3＜b＜4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b＜0，f(3)＝loga3＋3－b＞0，∴x0∈(2，3)，即n＝2. 答案：2 5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01). 解析：注意到f(1.556 2)≈－0.029和f(1.562 5)≈0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，又|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3＜0.01，所以近似解可取1.56. 答案：1.56 【思维升华】　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点2　确定函数零点的个数 [例1](1) 函数f(x)＝的零点个数为(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选B.法一(方程法)　由f(x)＝0， 得或解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 法二(图形法)　函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． (2) 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点． 法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数． 故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点． 【思维升华】　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断． (3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍． 跟踪训练1 (1)(2024·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　 ) A．3 B．7 C．5 D．6 解析：选B.根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝. 作出f(x)的简图如图所示， 由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点， 故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7. (2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6，6]，∴x的取值为－，－，，. 故f(x)共有6个零点． 答案：6 考点3　函数零点的应用 　根据零点个数求参数范围 [例2] (2024·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　 ) A．(2－6，0) B．(2－6，0) C．(－2，0) D．(2－6，0) 解析：选D.作出函数f(x)＝的图象，如图所示，设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0，4－x)， 因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0， 则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)， 因为g(x)＝kx－3k过定点(3，0)，且在切线l上， 代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)， 所以切线的斜率为k＝2－6， 因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点， 由图象知，实数k的取值范围为(2－6，0). 　根据零点的范围求参数范围 [例3] (2024·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C．(－∞，0) D． 解析：选B.由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－， 令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝， 又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 【思维升华】　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 　求函数多个零点的和(积)问题 [例4] (1)已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　 ) A．(1，10) B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24) 解析：选C.函数的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则－lg a＝lg b＝－c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0＜－c＋6＜1，所以ab＝1，10＜c＜12，所以10＜abc＜12. (2)(多选)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　 ) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 解析：选BCD.由函数f(x)＝作出其函数图象： 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1； 当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝或2， 所以<x3<1<x4<2； 由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|， 即log2x3＋log2x4＝0， 所以x3x4＝1， 则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1). 【思维升华】　求解函数多个零点的和(积)的值或范围，常常根据函数图象，常借助函数的性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)得到两个或多个变量的和(积)为常数，减少变量的个数来求解． 跟踪训练2 (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　 ) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 解析：选A.因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增， 由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a) ×(3－a)<0，解得0<a<3. (2)(2024·唐山模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(－1，0) B． C． D．∪{－1} 解析：选B.设h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝， 令h′(x)>0，得0<x<e，令h′(x)<0，得x>e， 所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(e)＝. 因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点， 所以方程f(x)＝a有3个解． 作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示， 所以a的取值范围为. (3)已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________． 解析：y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4， 即方程f(x)＝a有四个不同的解， 即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点． 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示， 由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4. 因为1－2x1＝2x2－1， 所以2x1＋2x2＝2，故＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$