2 第7节 函数的图象(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第7节　函数的图象　　　　　► 对应学生用书P44 [课标要求]　1.会画一些函数的图象，理解图象的作用．　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 [提醒]　图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． (2)伸缩变换 (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． [提醒]　x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变． (4)翻折变换 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　 ) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同．(　　 ) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　 ) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人教A版必修一·P73习题T7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 解析：选C.其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和 y＝x－1图象中x≥0的部分组成，故C符合题意． 3．(人教A版必修一·P111例1改编)函数y＝的图象是(　　) 解析：选B.当x＝0时，函数值为2，排除A，D；当x＝3时，函数值为，排除C. 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 解析：f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 答案：e－x＋1 5．(湘教版必修一·P127例2改编)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________. 解析：在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示． 由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解． 答案：(0，＋∞) 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　作函数的图象 [例1] 作出下列函数的图象． (1)y＝； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)作出y＝(x≥0)的图象，再将y＝(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝的图象，如图1中实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2中实线部分． (3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图3. (4)y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图4. 【思维升华】　函数图象的画法 跟踪训练1 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg (x－1)|； (2)y＝2x＋1－1； (3)y＝x2－|x|－2. 解：(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图①中实线部分． (2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示． (3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示． 考点2　函数图象的识别 　知式选图 [例2](1) (2022·全国甲卷)函数y＝cos x在区间的图象大致为(　　) 解析：选A.令f＝cos x，x∈[－，]，则f＝(3－x－3x)cos ＝－cos x＝－f，所以f为奇函数，排除BD；又当x∈时，3x－3－x>0，cos x>0，所以f>0，排除C. (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0.＝－且其定义域为R，故B中函数为奇函数，排除；当x>0时，>0，>0，即A、C中函数在(0，＋∞)上的函数值为正，排除． 【思维升华】　函数图象的识别方法 特殊 点法 根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足，则排除 函数 性质法 根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项，有时需要借助导数工具求解 极限 思想 应用极限思想来处理，可以使解题过程费时少、准确率高 图象 变换法 有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，可轻松破解此类问题 　知图选式 [例3] (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选A.设f＝，则f＝0，故排除B； 设h＝，当x∈时，0<cos x<1，所以h＝<≤1，故排除C； 设g＝，则g＝>0，故排除D. (2)(2023·北京密云期末)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　 ) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1 C．f(x)＝x ln x－x＋1 D．f(x)＝x ln x＋x－1 解析：选C.当x＝2时，－2＋1＝ln －1＜0，＋2－1＝ln ＋1＞1，2ln 2＋2－1＞1，故排除A，B，D. 【思维升华】　根据图象找解析式，一般先找差异，再验证 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性； (3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； (4)从图象的循环往复，观察函数的周期性． 跟踪训练2 (1)(2022·天津高考)函数f(x)＝的图象为(　　 ) 解析：选D.函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，A错误；当x＜0时，f(x)＝≤0，C错误；当x＞1时，函数f(x)＝＝＝x－单调递增，B错误． (2)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为(　　 ) 解析：选D.由f(x)－f(－x)＝0得函数f(x)为偶函数，排除A，B；又当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e＜0，排除C. (3)(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是(　　 ) A．y＝f(x)＋g(x)－ B．y＝f(x)－g(x)－ C.y＝f(x)g(x) D．y＝ 解析：选D.对于A，y＝f＋g－＝x2＋sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，y＝f－g－＝x2－sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，y＝fg＝sin x，则y′＝2x sin x＋cos x，当x＝时，y′＝×＋×>0，与图象不符，排除C. 考点3　函数图象的应用 　研究函数的性质 [例4] (多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　 ) A．函数f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称 B.函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：选AB.因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误． 【思维升华】　利用函数的图象研究函数的性质，对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． 　解不等式 [例5] 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　 ) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 解析：选C.根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 【思维升华】　利用函数图象解不等式时，先作出两个函数f(x)，g(x)的图象，那么f(x)>g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象上方的部分所对应的自变量的取值集合，不等式f(x)<g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象下方的部分所对应的自变量的取值集合． 　求参数的取值范围 [例6] 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(0，1) B．[0，1) C．(1，3)∪{0} D．[1，3)∪{0} 解析：选D.因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}． 【思维升华】　通常采用“以形助数”或“以数辅形”的数形结合法将问题直观化、生动化． 跟踪训练3 (1)(多选)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　 ) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 解析：选AC.作出f(x)的图象，f(x)的图象向左平移2个单位，得f(x＋2)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故C正确；由图象可知函数存在最小值0，故D不正确． (2)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为(　　 ) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C.作出函数f(x)的图象如图所示， 当x∈(－1，0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1，0)；当x∈(0，3)时，由xf(x)＞0得x∈(1，3)，所以x∈(－1，0)∪(1，3). (3)已知函数f(x)＝无最大值，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(1，＋∞) B．(－1，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：选D.由题意可知，当x≤a时，f(x)＝－x2－x＋，其图象的对称轴为直线x＝－1，当a≥－1时，函数f(x)＝－x2－x＋有最大值，为f(－1)＝2，当a＜－1时，函数f(x)＝－x2－x＋有最大值，为f(a)＝－a2－a＋，当x＞a时，f(x)＝－2x在(a，＋∞)上单调递减，故f(x)＜f(a)＝－2a，因为函数f(x)无最大值．故当a≥－1时，需满足2＜－2a，解得a＜－1，不符合题意；当a＜－1时，需满足－a2－a＋＜－2a，解得a＜－1或a＞3(舍去).综上，实数a的取值范围是(－∞，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $$