2 第6节 对数与对数函数(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第6节　对数与对数函数　　　　　► 对应学生用书P39 [课标要求]　 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．对数的概念 (1)如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数与自然对数 常用 对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N 记为lg N 自然 对数 将以无理数e＝2.718__28…为底的对数叫做自然对数 把logeN 记为ln__N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM. [点拨]　积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前． (2)对数的性质 ①＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [提醒]　对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． 4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　 ) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　 ) (3)log2x2＝2log2x.(　　 ) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　　 ) (5)函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)是奇函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(人教A版必修一·P126练习T3改编)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：选D.原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 3．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：选C.因为2a＝5，所以a＝log25，b＝log83＝log23，所以4a－3b＝4log25－log23＝22log2＝2log2＝. 4．(湘教版必修一·P120例12改编)函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(1，3) 解析：选C.设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg (x2－2x－3)满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x>3，故函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间是(3，＋∞). 5．(人教B版必修二·P28练习AT1改编)函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析：∵loga1＝0，令x－2＝1，得x＝3，∴y＝loga1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3，2). 答案：(3，2) 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　对数的运算 1．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　 ) A．1 B．2 C．4 D．6 解析：选B.原式＝(2×log23＋log23)＝log23×log32＝2. 2．(2023·贵州铜仁期末)叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，是有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q＝2log2，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位？(　　 ) A．2 B．2log2 C．160 D．6 解析：选C.由题意得8＝2log2，所以log2＝4，即24＝，所以m＝24×10＝160. 3．(2024·河南安阳模拟)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2 )z，则(　　 ) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ 解析：选C.令3x＝4y＝(2)z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2a，故＝loga3，＝loga4，＝loga2，故＋＝loga12＝2loga ＝. 4．计算：log29×log34＝________；1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________． 解析：log29×log34＝×＝×＝4；1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝1＋2－4＋2(lg 5＋lg 2)＝－1＋2＝1. 答案：4　1 5．计算：(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________． 解析：原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 4－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 答案：－1 【思维升华】　对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 考点2　对数函数的图象及应用 [例1] (1)(2024·河北衡水摸底)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　 ) A．a＞0，b＜－1 B．a＞0，－1＜b＜0 C．0＜a＜1，b＜－1 D．0＜a＜1，－1＜b＜0 解析：选D.因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0. (2) 当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　 ) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 解析：选B.构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的图象如图所示， 可知f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为(，1). [变式] 1．(变条件)若将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则a的取值范围为__________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为(0，]. 答案：(0，] 2．将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知＜loga，所以解得＜a＜1.即实数a的取值范围是. 答案： 【思维升华】　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　 ) 解析：选B.因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意，又因为f(x)为减函数，所以0＜a＜1，则g(x)＝loga|x＋2|(0＜a＜1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2＜0，可知A错误． (2)(2024·广东广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　 ) A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3 解析：选D.画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2＜x1＜x3. (3)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 解析：∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示， 又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1， ∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝， ∴b＝2，∴＋b＝4. 答案：4 考点3　对数函数性质及应用 　比较对数式的大小 [例2] (1)(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b 解析：选C.a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b. (2)(2024·广东深圳一调)若a＝log25，b＝log37，c＝log511，则下列式子成立的是(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析：选A.因为c＝log5 ＜log5 ＝＝log3 ＜b＝log3 ＜2＜a＝log25，所以a＞b＞c. 【思维升华】　对数值比较大小的四种常见类型 (1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断． (2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较． 　解对数方程或不等式 [例3] (1)(2024·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log (2x－5))＞f(log38)的解集为________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)化为|log (2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜. 答案：∪ (2)若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，得或 解得<a<1. 答案： 【思维升华】　简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 　对数函数性质的综合应用 [例4] (2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|，则f(x)(　　 ) A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 解析：选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝ln g(x)， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得f(x)的单调递增区间是(－3，0)，(3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，3). 由f(－x)＝ln |(－x)2－9|＝ln |x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数． 【思维升华】　求对数型复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 跟踪训练2 (1)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝＋log3π，则(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 解析：选B.因为a＝log23＋log32＞2 ＝2，所以a＞b，因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π＞log23＋log32，所以c＞a. (2)已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)且a<b，则不等式logax＋logb(2x－1)>0的解集为(　　 ) A．(1，＋∞) B．(0，1) C．(，＋∞) D．(，1) 解析：选A.由函数f(x)＝|lg x|及f(a)＝f(b)可知，|lg a|＝|lg b|结合a<b可知－lg a＝lg b，从而可得lg (ab)＝0，则ab＝1，且0<a<1<b.因此logax＋logb(2x－1)>0可化为logax＋log(2x－1)>0，即logax－loga(2x－1)>0，则logax>loga(2x－1).由a∈(0，1)，得不等式可化为解得x>1. (3)(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(1，3] B．(1，3) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：选A.令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0，2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3. (4)(2024·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－，欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 答案：(1，) 学科网（北京）股份有限公司 $$