2 第5节 指数与指数函数(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第5节　指数与指数函数　　► 对应学生用书P36 [课标要求]　1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果 xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时， ＝a． (2)n为偶数时， ＝|a|＝ [点拨]　任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (3)＝0． (4)负数没有偶次方根． 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数 指数幂 规定a＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4.实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). 5．指数函数定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 6．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [提醒]　画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象应抓住三个关键点：(0，1)，(1，a)，(－1，). [思考]　如何确定指数型函数y＝kamx＋n＋b(a>0，a≠1，k≠0，m≠0)图象所过的定点？ 提示：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)图象经过定点(0，1)的原因是f(0)＝1，即a0＝1，因此要确定指数型函数y＝kamx＋n＋b(a>0，a≠1，k≠0，m≠0)图象所经过的定点，应该令mx＋n＝0，解得x＝－，此时y＝ka0＋b＝k＋b，故其经过定点(－，k＋b). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝－1的值域是(0，＋∞).(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (5)( )n＝a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．( 人教A版必修一·P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　 ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：选C.因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a. 3．(北师大版必修一·P88例4改编)函数y＝2的值域为________． 解析：函数的定义域为{x|x≠1}， 因为≠0，所以y≠1， 又指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)， 故所求函数的值域为{y|y＞0且y≠1}． 答案：{y|y＞0且y≠1} 4．(苏教版必修一·P95例2改编)计算：27－＋(π－1)0－(3)－＝________． 解析：原式＝33×＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1. 答案：1 5．(湘教版必修一·P110习题4.2T6改编)函数y＝2x＋1的图象是(　　) 解析：选A.由y＝2x向左平移一个单位得到y＝2x＋1，底数2>1，是增函数，所以A正确． 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　指数幂的运算 1．已知x，y＞0，化简＝________． 解析：原式＝＝－10y. 答案：－10y 2．计算：－0.752＋6－2×＝_______. 解析：原式＝－＋×＝－＋×＝－＋×＝1. 答案：1 3．(2024·河北沧州联考)·(a＞0，b＞0)＝_________. 解析：原式＝＝. 答案： 4．若x＋x－＝3，则x2＋x－2＝________． 解析：由x＋x－＝3，平方得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47. 答案：47 【思维升华】　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点2　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　 ) A．a<b B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| D．若0<a<log32，则ab<ba 解析：选BCD.如图，由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确． (2)若函数y＝|3x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________． 解析：作出曲线y＝|3x－1|的图象与直线y＝b如图所示，由图象可得b的取值范围是(0，1). 答案：(0，1) [变式] 将本例(2)改为若曲线|y|＝3x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________． 解析：作出曲线|y|＝3x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 答案：[－1，1] 【思维升华】　指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练1 (1)(2024·广东深圳中学摸底)函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(　　 ) 解析：选C.y＝e－|x|＝易得函数y＝e－|x|为偶函数，且图象过(0，1)，y＝e－|x|＞0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合题意． (2)(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　 ) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 解析：选BD.由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确； 分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图， ∴－b>0，∴b<0，故D正确． 考点3　指数函数性质的应用 　比较指数式的大小 [例2] (1)(2024·苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b 解析：选B.∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1， 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7， ∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数， ∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a. (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　 ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 解析：选D.∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，(*) 令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数， (*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. 【思维升华】　比较指数式大小的四种方法 　解简单的指数方程或不等式 [例3] (1)(2024·邯郸质检)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 解析：由10x－6x－3x≥1，两边同除以10x，可得＋＋≤1， 令f(x)＝＋＋，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞). 答案：[1，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 解析：当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为. 答案： 【思维升华】　(1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x). (2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax＞ab(a＞0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；而对于形如ax＞b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 　指数函数性质的综合应用 [例4] (1)(多选)(2023·潍坊期末)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　 ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)是奇函数 C．f(x)在定义域上是减函数 D．f(x)无最小值，无最大值 解析：选BD.对于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，故f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误； 对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确； 对于C，f(x)＝＝＝1＋，故函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，当x→－∞时，f(x)→－1，x→0－时，f(x)→－∞，x→0＋时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→1，所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误； 对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确． (2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数， 所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. 答案：(－∞，4] 【思维升华】　涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(2024·福建泉州质检)已知a＝，b＝，c＝，则(　　 ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c 解析：选C.因为＝＞1，＝＜1，＞1，y＝在R上是增函数，所以＞，所以＞＞，即c＞a＞b. (2)(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　 ) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 解析：选ACD.设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是－6，故D正确． (3)当0＜x＜时，方程ax＝(a＞0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，当x∈时，y＝ax与y＝的图象有交点，作出y＝的部分图象，如图所示，所以解得a＞4. 答案：(4，＋∞) (4)(2024·泸州诊断)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数． 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0， 解得－2≤a≤1. 答案：[－2，1] 学科网（北京）股份有限公司 $$