2 第4节 幂函数与二次函数(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第4节　幂函数与二次函数　► 对应学生用书P33 [课标要求]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．　2.掌握二次函数的图象和性质，能利用二次函数方程、不等式之间的关系解决简单问题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调 递增 (－∞，0]上单调递减；(0，＋∞)上单调递增 R上单调递增 [0，＋∞) 上单调递增 (－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) [思考]　幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？ 提示：幂函数y＝xα，α是常数．当x>0时，y>0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不过第四象限． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝－x是幂函数．(　　 ) (2)当α＜0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　 ) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　 ) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　 ) (5)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(人教A版必修一·P91练习T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选C.由题意得＝k·()α，因为f(x)为幂函数，所以k＝1，解得α＝，故k＋α＝. 3．(湘教版必修一·P81例3改编)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3. 4．(苏教版必修一·P113T4改编)已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是________． 解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 5．(湘教版必修一·P102练习T1改编)已知α∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝__________. 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，∴α＝－1. 答案：－1 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　幂函数的图象和性质 [例1] (1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A.－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析：选D.对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且 0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上，－1<n<0<m<1. (2)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为减函数，则m＝________． 解析：由m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，又因为函数在(0，＋∞)上单调递减，可得m2－2m－3<0，所以m＝2. 答案：2 【思维升华】　(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． (4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 跟踪训练1 (1)已知幂函数y＝x (p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　 ) A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0 解析：选D.因为函数y＝x的图象关于y轴对称， 所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，所以<0，即p<0. (2)已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝xα，则(－8)α＝－2，解得α＝，所以f(x)＝x，则f(x)在R上单调递增，且为奇函数，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等价于f(a＋1)≤f(3－a)，则a＋1≤3－a，解得a≤1. 答案：(－∞，1] 考点2　二次函数的解析式 [例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________． 解析：法一(利用“一般式”)　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)　设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“两根式”)　由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 答案：－4x2＋4x＋7 【思维升华】　求二次函数解析式的方法 求二次函数解析式，一般运用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三点坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最值，宜选用顶点式． (3)已知与x轴两交点坐标，宜选用零点式． [变式] 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax(x＋2).因为函数f(x)的最大值为8， 所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8， 所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为“二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)”，试确定f(x)的解析式． 解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2， 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3， 所以a＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 跟踪训练2 (1)已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________． 解析：设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a＋49＝0的两个根分别为x1，x2， 则|x1－x2|＝2 ＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40. 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40 (2)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝_______________. 解析：由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3. 答案：x2－2x＋3 考点3　二次函数的图象和性质 　二次函数的图象 [例3] (多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　 ) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 解析：选AD.因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确． 【思维升华】　1.解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点； (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号；二是看图象的对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 　二次函数的单调性 [例4] 若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B．[－6，－4] C．[－3，－2 ] D．[－4，－3] 解析：选B.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x＞0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－，∴2≤－≤3，解得－6≤a≤－4. 【思维升华】　(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆(－∞，－]，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧). 　二次函数的最值与恒成立问题 [例5] (1)若函数f(x)＝ax2 ＋2ax＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a的值为________． 解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a>0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a<0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a的值为. 答案： (2)(2023·河南中原名校期末)已知当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　 ) A.(－2，2) B．(－∞，－2) C．[－2，2] D．(2，＋∞) 解析：选A.设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2，当≤－2，即m≤－4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，则f(x)min＝f(－2)＝2m＋5＞0，解得m＞－，此时m不存在；当－2＜＜2，即－4＜m＜4时，f(x)min＝f＝1－＞0，解得－2＜m＜2；当≥2，即m≥4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，则f(x)min＝f(2)＝－2m＋5＞0，解得m＜，此时m不存在．综上所述，实数m的取值范围是(－2，2). 【思维升华】　1.二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 2．二次函数恒成立问题的类型及求解策略 (1)不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接求最值． 这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (2)对于二次函数的恒成立问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 跟踪训练3 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　 ) 解析：选D.对于A，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；对于B，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；对于C，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；对于D，a>0，b<0，c<0，符合题意． (2)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　 ) A．[－3，0) B．(－∞，－3] C．[－2，0] D．[－3，0] 解析：选D.当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]. (3)设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为___________． 解析：由题意得且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7. 答案：7 (4)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a＜－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$