2 第3节 第2课时 函数性质的综合运用1(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第二课时　函数性质的综合运用　　　► 对应学生用书P31 考点1　单调性与奇偶性 [例1] (1)(多选)(2024·九省新高考适应性考试)已知函数f(x)的定义域为R，且f()≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则(　　) A．f(－)＝0 B．f()＝－2 C．函数f(x－)是偶函数 D．函数f(x＋)是减函数 解析：选ABD.当x＝0，y＝时，f()＋f(0)f()＝0，f()(1＋f(0))＝0，而f()≠0，∴f(0)＝－1，当x＝－，y＝时，f(0)＋f(－)f()＝－1，∴f(－)f()＝0，∴f(－)＝0，A对； f(x)过(0，－1)，(－，0)，令f(x)＝kx＋b，则∴f(x)＝－2x－1，f(x＋y)＋f(x)f(y)＝－2(x＋y)－1＋(－2x－1)(－2y－1)＝4xy，满足条件，则f()＝－2，B对； f(x－)＝－2(x－)－1＝－2x，为奇函数，C错； f(x＋)＝－2(x＋)－1＝－2x－2，为减函数，D对． (2)(2024·重庆沙坪坝区联考)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x).若f(2a－1)<f(a)，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，)∪(1，＋∞) 　B．(0，1) C．(－∞，0)∪(0，) 　 D．(0，) 解析：选D.由可得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)＝ln (1－x2)，所以f(－x)＝ln [1－(－x)2]＝ln (1－x2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，易知y＝1－x2在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，1) 上单调递减，在(－1，0)上单调递增．由f(2a－1)<f(a)可得f(|2a－1|)<f(|a|)，所以解得0<a<. 【思维升华】　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 跟踪训练1 (1)(2024·合肥质检)若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，都有>0，则a＝f(sin 3)，b＝f，c＝f(21.5)的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 解析：选A.因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有>0， 所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增， 由f(x)为偶函数，得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，2<21.5，f＝f(－ln 3)＝f(ln 3)， 所以f(sin 3)>f(ln 3)>f(21.5)，即a>b>c. (2)请写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③f(x)的值域是[0，＋∞). 则f(x)＝________．(写出一个满足条件的函数即可) 解析：从函数具有的奇偶性、单调性的角度分析，可从基本初等函数中进行考虑，则同时满足三个条件的函数f(x)可以为f(x)＝x2，f(x)＝2|x|－1等，答案不唯一． 答案：x2(或2|x|－1等，答案不唯一) 考点2　奇偶性与周期性 [例2] (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：选A.因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)f(1)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0. 由于22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. [变式] 本例条件变为“已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝2”，问题不变． 解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1). 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数， 由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴ ＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝2. 【思维升华】　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 跟踪训练2 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　 ) A．f(－)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 解析：选B.因为函数f(x＋2)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称；又函数f(2x＋1)为奇函数，所以其图象关于点(0，0)对称，将函数y＝f(2x＋1)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f[2(x－)＋ 1]＝f(2x)的图象且函数f(2x)的图象关于点(，0)对称，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝f(x)的图象，且函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝2对称，又关于点(1，0)对称，所以4为函数y＝f(x)的一个周期．又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝f(1)＝0. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f(x)＝则f(2 023)＝________． 解析：设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b.因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f(2 023)＝f(3)＝f(－1)＝×(－1)＋1＝. 答案： 考点3　对称性、单调性与周期性 [例3] (1)(2024·成都诊断)设f(x)为定义在R上的函数，对∀x∈R都有f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，1]上单调递增．设a＝f，b＝f(log43)，c＝f，则下列结论正确的是(　　 ) A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：选C.因为f(2－x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)， 则函数f(x)关于直线x＝1对称，且f(x)为偶函数， 又f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)， 故f(x)的周期为2， 因为a＝f＝f，c＝f＝f，1＝log44＞log43＞log42＝，f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(log43)＞f＞f，即b＞a＞c. (2)(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的是(　　 ) A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D．若y＝f(x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 021，2 022]上也单调递增 解析：选BCD.因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)， 故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)， 所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点对称，A错误，B正确； 由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0， 因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f＝f＝－f， 所以f＝0，从而f＝f＝0， 故函数y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点，C正确； 因为f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，f(2 022)＝f(3×674)＝f(0)，且函数f(x)在[0，1]上单调递增， 则函数f(x)在[－1，0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 021，2 022]上也单调递增，D正确． 【思维升华】　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 跟踪训练3 (1)(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)的周期为4 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－ 解析：选ABC.对于A，∵f(x＋1)＝f(x－3)， ∴f(x＋3＋1)＝f(x＋3－3)，则f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，故A正确； 对于B，由f(1＋x)＝f(3－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 对于C，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x在上单调递减，在上单调递增，根据对称性可知，函数f(x)在，上单调递减，在，上单调递增，则函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(2)＝4－2＝2，故C正确； 对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6，8]上的最小值为f＝f＝f＝f＝－＝－，故D错误. (2)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋；②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).则f，f，f的大小关系是(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 解析：选A.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(1＋x)＝f(1－x)， 故f(2－x)＝f(1－(x－1))＝f(x－1＋1)＝f(x)， f(2＋x)＝f(1＋(x＋1))＝f(1－(x＋1))＝f(－x). 又因为∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)＝f(－x)，即函数f(x)为偶函数， 所以f＝f＝f＝f，f＝f＝f＝f＝f，f＝f. 因为当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋， f′(x)＝2－≤2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立，故f′(x)≤0， 又f′(x)不恒为零， 故函数f(x)在[－1，0]上单调递减． 因为－1＜－＜－＜－＜0， 则f＜f＜f， 即f＞f＞f. 学科网（北京）股份有限公司 $$