2 第3节 第1课时 函数的性质(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性 [课标要求]　 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 第一课时　函数的性质　　　　　► 对应学生用书P27 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 [提醒]　(1)函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称． (2)函数图象关于y轴对称，必为偶函数；关于原点对称，必为奇函数．互为充要条件． (3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)是奇函数. 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [点拨]　若T是函数f(x)的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． 3．函数对称性及有关结论 (1)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＝f(N)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于直线x＝对称； (2)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＋f(N)＝b(常数)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于点中心对称； (3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和x＝b对称，则函数具有周期性，且周期T＝2|a－b|； 若函数y＝f(x)的图象关于点和点对称，则函数具有周期性，且周期T＝2； 若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和点(b，0)对称，则函数具有周期性，且周期T＝4|a－b|. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　 ) (2)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　 ) (3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　 ) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)(人教A版必修一·P84例6改编)下列说法正确的是(　　) A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B．图象关于y轴对称的函数是偶函数 C．函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数 D．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 解析：选AB.由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，错误；对于D，由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，则f(x)须在x＝0处有意义才满足f(0)＝0，错误． 3．(北师大版必修一·P69习题A组T5改编)已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x－m(m为常数)，则f(－2)＝(　　 ) A．1 B．2 C．－3 D．3 解析：选C.由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝20－m＝1－m＝0，即m＝1，即x≥0时，f(x)＝2x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3. 4．(2024·陕西西安联考)已知函数f(x－1)是偶函数，若f(x＋1)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为(　　 ) A．x＝－2 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝2 解析：选A.因为函数f(x－1)是偶函数，所以f(x－1)的图象关于直线x＝0对称，f(x－1)的图象向左平移2个单位可得f(x＋1)的图象，所以f(x＋1)的图象关于直线x＝－2对称． 5．(人教B版必修一·P115练习BT2改编)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________． 解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知y＝g(x)是奇函数．由f(－2)＝10，得g(－2)－8＝10，－g(2)－8＝10，所以g(2)＝－18，所以f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 答案：－26 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，当x∈(0，2]时，f(x)＝log4x，则f(2 024)＝________． 解析：由f(x＋2)－f(x)＝0得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(2)＝log42＝. 答案： 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x＋1)； (4)f(x)＝ 解：(1)由得x2＝3，解得x＝± ，即函数f(x)的定义域为{－， }，从而f(x)＝＋＝0，因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． 所以x－2＜0，|x－2|－2＝－x，f(x)＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数． (3)由得－1＜x≤1，因为f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x). 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，即函数f(x)为奇函数． 【思维升华】　 1．判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． (2)图象法，即利用奇、偶函数的对称性来判断． (3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 2．一些重要类型的奇偶函数模型 (1)函数f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)是偶函数． (2)函数f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)是奇函数． (3)函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是奇函数． (4)函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)是奇函数． (5)函数f(x)＝loga( ±mx)(a＞0且a≠1)是奇函数． 跟踪训练1 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　 ) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B.法一　因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数． 法二　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝. 对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)； 对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)； 对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称； 对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称． 考点2　函数奇偶性的应用 　利用奇偶性求值(解析式) [例2] (1)(多选)(2024·福州模拟)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　 ) A．1 B．3 C．4 D．5 解析：选D.根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，即sin a＋a3＋＝－2， 所以f(－a)＝sin (－a)＋(－a)3＋＋3 ＝－＋3＝2＋3＝5. (2)(2024·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　 ) A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1 C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1 解析：选D.当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1. (3)(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________． 解析：因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以f(－)＝f()，即(－－1)2－a＋cos ＝＋a＋cos ， 则πa＝－(－1)2＝2π，故a＝2. 答案：2 【思维升华】　函数奇偶性有关的问题及解题策略 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解； (2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式； (3)解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解． 　 利用奇偶性解不等式(方程) [例3] 函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0的解集为(　　 ) A．(－2，2) B．(－∞，0)∪(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选D.由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0， 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0， 所以f(x)的大致图象如图所示． 由f(－x)＝－f(x)可得，＝＝>0， 由于x在分母位置，所以x≠0， 当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x< －2； 当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2； 综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 【思维升华】　利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)<f(2)，则实数x的取值范围是(　　 ) A．(1，4) B．∪(4，＋∞) C．∪(1，4) D． 解析：选D.依题意，函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减， 则f(log2x)<f(2)等价于|log2x|<2， ∴－2<log2x<2，解得<x<4. (2)(2022·全国乙卷)若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． 解析：因为函数f＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由a＋≠0，可得(1－x)(a＋1－ax)≠0，即x≠1，x≠，所以＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为∪∪，再由f＝0，可得b＝ln 2，即f＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f＝－f，符合题意． 答案：－　ln 2 考点3　函数的周期性 [例4] (1)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为____________． 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)为周期为4的偶函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] (2)(2024·湖南六校联考)若函数f(x)＝则f(25)＝_________. 解析：当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 则f(x＋1)＝－f(x－2)， ∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1. 答案：－1 【思维升华】　函数周期性有关问题的求解策略 (1)求解与函数周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性． 跟踪训练3 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2 024)＝________. 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13， ∴f(x＋2)＝， ∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 024)＝f(4)＝＝. 答案： (2)(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________． 解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6， 于是f(1)＝1，f(2)＝2， f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1， f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0， f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1， 而2 024＝6×337＋2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 答案：340 考点4　函数的对称性 [例5] (1)(2024·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn), 则 ＝(　　 ) A．n B．2n C．3n D．4n 解析：选C.因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sin πx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以 ＝n, ＝2n，所以 ＝3n. (2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　 ) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：选D.因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g＝g， 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)， 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2， 所以f＋f＋…＋f＝×5＝－10， f＋f＋…＋f＝×5＝－10. 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f＝1，所以f(2)＝－2－f＝－3. 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得g＋g＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g＝6， 因为f(x)＋g(x＋2)＝5， 所以f＝5－g＝－1. 所以 ＝f＋f＋[f＋f＋…＋f]＋[f＋f＋…＋f]＝－1－3－10－10＝－24. 【思维升华】　(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 跟踪训练4 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　 ) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：选A.设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．－1 解析：选C.根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称， 那么求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和， 因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$