2 第2节 函数的单调性与最值(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

． 第2节　函数的单调性与最值　► 对应学生用书P23 [课标要求]　 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图示 [思考]　函数单调性定义中的x1，x2具有哪些特征？ 提示：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈I”，“任意”两字绝不能丢；二是有大小，即x1<x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [提醒]　(1)“函数f(x)的单调增区间是M”与“函数f(x)在区间N上单调递增”，这两个说法不一样．显然N⊆M. (2)一个函数有多个相同的单调区间，应分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 2．函数的最大(小)值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 [提醒]　闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝在定义域内单调递减．(　　 ) (2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　 ) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　 ) (4)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)(人教A版必修一·P79例3改编)下列结论正确的有(　　) A．函数y＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) B．函数y＝－x在区间(0，＋∞)上单调递减 C．若y＝f(x)在区间I上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间I上都单调递减 D．若函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈I，x1≠x2，>0(<0)，则能判定f(x)在区间I上的单调性 解析：选BD.对于A，单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)，错误； 对于B，y＝－x在(0，＋∞)上是减函数，正确； 对于C，若y＝f(x)在区间I上单调递增，则∀x1，x2∈I，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)>0，由此可推出k[f(x2)－f(x1)]<0(k<0)，即y＝kf(x)在区间I上单调递减，y＝在区间I上不一定单调递减，如f(x)＝x，I＝[－1，1]，所以y＝在区间I上不单调，且x＝0时没有意义，C错误； 对于D，>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(单调递减)，正确． 3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　 ) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：选D.取x1＝－1，x2＝0，对于A，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A不符合题意； 对于B，有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B不符合题意； 对于C，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意； 对于D，有f(x1)＝－1，f(x2)＝0，符合题意． 4．(北师大版必修一·P65习题B组T4改编)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________. 解析：因为f(x)的定义域为[1，＋∞)， 且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， 所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. 答案：9 5．(苏教版必修一·P114T2改编)函数f(x)＝的单调增区间为________． 解析：由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，故f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调增区间为(－∞，－1). 答案：(－∞，－1) 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　确定函数的单调性(区间) 　函数单调性的判断 [例1] (1)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 解析：选C.由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减可知a＜0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴g(x)的单调递增区间为(－∞，2). (2)(2023·四川资阳期末)函数f(x)＝ －x的单调递增区间为(　　 ) A． B．(0，1) C． D．(1，＋∞) 解析：选A.令t＝ ，显然t＝ 在[0，＋∞)上单调递增．又y＝t－t2＝－＋在上单调递增，由 ≤得0≤x≤，所以f(x)的单调递增区间是[0，]. 【思维升华】　(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法． (2)求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”． 　利用定义证明(判断)函数的单调性 [例2] 判断函数f(x)＝在(－1，1)上的单调性，并用定义证明． 解：函数f(x)在(－1，1)上是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝ ＝， 因为－1＜x1＜x2＜1，则x1－x2＜0，－1＜x1x2＜1， 故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 因此，函数f(x)在(－1，1)上是增函数． 【思维升华】　利用定义证明或判断函数单调性的步骤 注意：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式． 跟踪训练1 (1)设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝g(f(x))的单调递减区间为(　　 ) A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(1，＋∞) D．(1，4) 解析：选B.g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，由－x2＋2x＋8＞0得－2＜x＜4，即函数y＝g(f(x))的定义域为(－2，4)，显然函数f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，而g(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上单调递减，因此函数y＝g(f(x))在(－2，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以函数y＝g(f(x))的单调递减区间为(－2，1). (2)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　 ) A． B． C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 解析：选B.g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (3)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：法一　设－1<x1<x2<1，f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a(1＋)＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 法二　f′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 考点2　函数单调性的应用 　比较函数值的大小 [例3] (1)(2024·重庆模拟)设函数f(x)＝若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　 ) A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) 解析：选D.显然f(x)在R上单调递减，又因为30.2＞30＝1，即b＞1，0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，即0＜a＜1，log0.32＜log0.31＝0，即c＜0，所以b＞a＞c，所以f(b)＜f(a)＜f(c). (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝f(1)，b＝，c＝，则(　　 ) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：选B.因为＞0等价于＞0，所以函数在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)是R上的偶函数，即b＝＝，显然有＜＜，即a＜b＜c. 【思维升华】　比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 　解函数不等式 [例4] (1)已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是_________． 解析：由f(x)＝－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3， 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，即解得0<a<1. 答案：(0，1) (2)(2024·江苏泰州模拟)设定义在R上的函数f(x)满足：当x1＜x2时，总有2x1f(x2)＜2x2f(x1)，且f(1)＝2，则不等式f(x)＞2x的解集为(　　 ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A.由2x1f(x2)＜2x2f(x1)⇒＜，令g(x)＝，可知当x1＜x2时，g(x2)＜g(x1)，所以g(x)在定义域R上单调递减，又f(x)＞2x⇒＞1＝，即g(x)＞g(1)，所以由单调性解得x＜1. 【思维升华】　解含“f”的函数不等式的思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x))，应注意函数的定义域． 　求参数的范围 [例5] 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C．(0，1) D．(0，1] 解析：选B.因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围为. 【思维升华】　利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝e|x|－cos x，则f()，f(0)，f(－)的大小关系为(　　 ) A．f(0)<f()<f(－) B．f(0)<f(－)<f() C．f()<f(－)<f(0) D．f(－)<f(0)<f() 解析：选B.∵f(x)＝e|x|－cos x，x∈R， ∴f(－x)＝e|－x|－cos (－x)＝e|x|－cos x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，∴f(－)＝f(). 当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，∴f′(x)＝ex＋sin x， 当x∈[0，)时，f′(x)＝ex＋sin x>0，∴函数f(x)在[0，)上单调递增，∴f(0)<f()<f()， 即f(0)<f(－)<f(). (2)(2024·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在R上单调递增， 因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)，故2x－1<4，即x<. (3)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 解析：f(x)＝＝＝1＋， 因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以解得1≤a<2. 答案：[1，2) 考点3　函数的值域(最值) [例6] 求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)y＝； (3)y＝2x－； (4)y＝＋. 解：(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)， 可得函数的值域为[2，6). (2)(分离常数法)y＝＝＝2＋， 显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. (4)(单调性法)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). [例7] 已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________． 解析：因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.又2－6<0，所以f(x)min＝2－6. 答案： 2－6 【思维升华】　求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 注意： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． 跟踪训练3 (1)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图实线部分所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 答案：1 (2)函数y＝的值域是________. 解析：y＝＝＝＋. 令t＝(t≥1)，则y＝t＋≥2＝2(当且仅当t＝，即t＝1，即x＝0时，取等号)，因此函数的最小值为2.函数无最大值，即函数的值域是[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$