2 第1节 函数的概念及其表示(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第二章　　　函数 第1节　函数的概念及其表示　► 对应学生用书P20 [课标要求]　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数，理解函数图象的应用．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． [提醒]　集合A，B及其对应关系f：A→B构成的函数中，函数的值域C不是集合B，而是C⊆B. 3．同一函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称它们是同一个函数． [思考]　定义域与值域都对应相同的两个函数一定是同一个函数吗？值域与对应关系相同的两个函数一定是同一个函数吗？ 提示：不一定．如函数y＝3x和y＝2x－1，二者的定义域均为R，值域也均为R，但两个函数不同．函数y＝x2，x∈[0，2)和函数y＝x2，x∈(－1，2)，两函数对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，所以不是相等函数． 4．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 5．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　　) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　　) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人教A版必修一·P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　 ) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：选B.函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数． 3．(苏教版必修一·P108习题5.2T7改编)已知函数f(x)＝则函数f等于(　　 ) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：选C.由题意可知，f＝ln ＝－ln 3，所以f＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝. 4．(北师大版必修一·P55例2改编)函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析：由得－3≤x＜－2或－2＜x≤1. 答案：[－3，－2)∪(－2，1] 5．(湘教版必修一·P75习题3.1T2改编)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f(g(1))＝1，则a＝________． 解析：由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1. 答案：1 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数的定义域 1．函数y＝的定义域为(　　 ) A．(－4，－1) B．(－4，1) C．(－1，1) D．(－1，1] 解析：选C.由题意得解得－1<x<1，故定义域为(－1，1). 2．函数f(x)＝ ·lg 的定义域是(　　 ) A．[1，2] B．[2，＋∞) C．[1，2) D．(1，2] 解析：选C.根据函数f(x)的解析式，有解得1≤x＜2，所以函数f(x)的定义域为[1，2). 3．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　 ) A．(－1，0) B．(－2，0) C．(0，1) D．(－，0) 解析：选C.由题意，设t＝x＋1，∵x∈(－2，0)，∴t∈(－1，1)，∴f(x)的定义域为(－1，1).对于f(2x－1)有2x－1∈(－1，1)，故其定义域为(0，1). 4．(2024·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　 ) A．{x|x>2或x<0} B． C．{x|x>2} D． 解析：选B.要使f(x)＝lg 有意义，则>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1). 要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得≤x<2， 所以函数g(x)的定义域为. 【思维升华】　1.由函数解析式求定义域的策略 已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考点2　函数的解析式 [例1] (1)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则 f(x)＝________． 解析：法一(换元法)　令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4()2－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x) ＝x2－5x＋9(x∈R). 法二(配凑法)　因为f(2x＋1) ＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1) ＋9，所以f(x) ＝x2－5x＋9(x∈R). 法三(待定系数法)　因为f(x) 是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝ 4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1) ＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 答案：x2－5x＋9(x∈R) (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式． 解：(配凑法)∵f＝x2＋＝－2， x≠0，当x>0时，x＋≥2＝2， 当x<0时，x＋＝－[(－x)＋]≤－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解：(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 【思维升华】　求函数解析式的常用方法 1．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得到f(x)的表达式，注意自变量的取值范围． 2．换元法：对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，注意新元的取值范围． 3．待定系数法：先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过方程(组)求出相应的待定系数． 4．解方程组法：已知关于f(x)或f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 跟踪训练1 (1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________． 解析：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). 答案：x2－4x＋3(x≥1) (2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为________. 解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b，k≠0， 则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b. ∵∴ 解得∴f(x)＝3x－2. 答案：f(x)＝3x－2 (3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________． 解析：∵f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，∴f(x)＝－－. 答案：－－ 考点3　分段函数 　分段函数求值 [例2] (1)(2024·梅州模拟)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log26)＝(　　 ) A．2 B．6 C．8 D．10 解析：选B.根据题意得f(－2)＝log28＝3，f(log26)＝2log26－1＝3，所以f(－2)＋f(log26)＝6. (2)(2024·山东省部分学校联考)已知函数f(x)＝则f(9)＝(　　 ) A．2 B．9 C．65 D．513 解析：选A.f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2. 【思维升华】　分段函数的求值问题 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 　分段函数与方程、不等式问题 [例3] (1)(2024·唐山一模)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________． 解析：若f(a)＝4，则或解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或解得－3≤a<－1或a≥4. 答案：－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) (2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是______． 解析：法一　当x>时，2x＋2x－>1恒成立，∴x>， 当0<x≤时，2x＋x－＋1>1，即2x＋x>恒成立，∴0<x≤， 当x≤0时，x＋1＋x－＋1>1，解得－<x≤0， 综上，x的取值范围是. 法二　将不等式f(x)＋f>1变形为f>1－f(x)， 令y1＝f，y2＝1－f(x)，作出两个函数的图象如图所示： 由图象可知，f>1－f(x)的x的取值范围是. 答案： 【思维升华】　求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时，要依据不同范围对应的不同解析式分别求解，最后将各段所求结果并起来． 跟踪训练2 (1)(2024·湖南师大附中段考)已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　 ) A． B．－6 C． D．－3 解析：选A.因为log23∈(1，2)，则log212＝2＋log23∈(3，4)， 所以f(log212)＝f(2＋log23)＝f(log23)＝3＝2－log23＝2log2＝. (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋1)＜1的解集为(　　 ) A．(1，7) B．(0，7) C．(1，8) D．(－∞，7) 解析：选B.当x＋1≤1，即x≤0时，e2－(x＋1)＜1， 即e1－x＜1，∴1－x＜0，∴x＞1， 又∵x≤0，∴无解． 当x＋1＞1，即x＞0时，lg (x＋1＋2)＜1， ∴lg (x＋3)＜1，∴0＜x＋3＜10， ∴－3＜x＜7， 又∵x＞0，∴0＜x＜7. (3)(2022·浙江高考)已知函数f(x)＝则f(f())＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________． 解析：因为f()＝－()2＋2＝，所以f(f())＝f()＝＋－1＝.当x≤1时，由1≤－x2＋2≤3，解得－1≤x≤1；当x>1时，由1≤x＋－1≤3，解得1<x≤2＋ ，综上所述，1≤f(x)≤3的解集为[－1，2＋ ]，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋. 答案：　3＋ 学科网（北京）股份有限公司 $$