1 培优拓展（2）一元二次方程根的分布问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

培优拓展(二) 一元二次方程根的分布问题 所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号； (2)对称轴方程x＝－与所给区间的位置关系； (3)区间端点处函数值的符号． 类型一　两根与实数k的大小关系 根的分 布情况 两根都小于k，即x1<k，x2<k 两根都大于k，即x1>k，x2>k 一根小于k，一根大于k， 即x1<k<x2 a>0 大致 图象 得出的 结论 f(k)<0 a<0 大致 图象 得出的 结论 f(k)>0 综合结论 (不讨论a) a·f(k)<0 类型二　两根所在的区间情况 根的分 布情况 两根都在(m，n)内 恰有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q a>0 大致 图象 得出的 结论 或f(m)f(n)<0 或 a<0 大致 图象 得出的 结论 或f(m)f(n)<0 或 综合结论 (不讨论a) 或f(m)f(n)<0 另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是： (1)当a>0时， (2)当a<0时， 题型突破 题型一　已知两根与实数k的大小关系 [例1] (1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m， 则解得－1＋2≤m<2. 答案：[－1＋2，2) (2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________． 解析：由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a＝0可化为x2＋x＋9＝0，令f(x)＝x2＋x＋9，则f(1)＝1＋×1＋9<0，解得－<a<0. 答案： 【思维升华】　当方程中二次项系数有字母参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0. [对点练1]　(1)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－6，－2] C．(－6，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：选B.令f(x)＝x2＋(m－2)x＋6－m，则 即解得－6<m≤－2. (2)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是____________． 解析：法一　显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－x＋，则f(0)<0，即<0，所以(2m＋1)(m－1)<0，解得－<m<1. 法二　设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝<0，解得－<m<1. 答案： 题型二　已知两根所在的区间 [例2] 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 解：(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图， 由题意得即 解得－＜m＜－. (2)由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图， 由题意得即 解得－＜m≤1－. 【思维升华】　求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值． 注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法． [对点练2]　(1)已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________． 解析：法一　设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)， 则即 所以解得0<a<1. 法二　由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，则解得0<a<1. 答案：(0，1) (2)已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________． 解析：显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋＋＝0，设f(x)＝x2＋＋，则即解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0). 答案：(－3，0) 题型三　可转化为一元二次方程根的分布的问题 [例3] (2024·河北石家庄模拟)设函数f(x)＝－cos 2x＋a sin x＋a＋，若方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________． 解析：f(x)＝－(1－2sin2x)＋a sinx＋a＋＝3sin2x＋a sinx＋a＋3，x∈(0，π)，令sin x＝t，t∈(0，1]，h(t)＝3t2＋at＋a＋3.当0<t<1时，sin x＝t有两个不相等的实数根，当t＝1时，sin x＝t有且仅有一个实数根．因为方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h(t)＝3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以 解得－3<a<6－6. 答案：(－3，6－6) 【思维升华】　本题中，令sin x＝t，将原问题转化为3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意． [对点练3]　(2023·四川成都联考)若关于x的方程9x－(a＋1)3x＋a2－1＝0有两个不相等的正根，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－1，) B．(，) C．(，) D．(1，) 解析：选B.原方程可化为(3x)2－(a＋1)3x＋a2－1＝0，设t＝3x>1，则t2－(a＋1)t＋a2－1＝0有两个大于1的不等实数根t1，t2， 所以 解得<a<. 学科网（北京）股份有限公司 $$