1 培优拓展（1）柯西不等式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

培优拓展(一) 柯西不等式 1．柯西不等式的代数形式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立). 2．柯西不等式的向量形式 设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立． 3．柯西不等式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则： ＋≥. 题型突破 题型一　利用柯西不等式求最值 [例1] (1)已知x>0，y>0，＋y2＝1，则x＋y的最大值是________． 解析：由柯西不等式得≥＝， 所以1×2≥，当＝y，即x＝，y＝时等号成立， 所以＋y≤，即x＋y的最大值是2. 答案：2 (2)已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________． 解析：(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，所以4x2＋y2≥16×＝，当且仅当y＝12x时，等号成立，所以4x2＋y2的最小值为. 答案： (3)函数f(x)＝＋cos x(0<x<)，则f(x)的最大值是(　　 ) A． B． C．1 D．2 解析：选A.因为f(x)＝＋cos x，所以f(x)＝＋cosx≤＝，当且仅当cosx＝sin x，即cos x＝时取等号． 【思维升华】　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件， 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答． 题型二　利用柯西不等式判断 [例2] 已知a＋b＝1，则以下式子成立的是(　　) A．a2＋b2>1 B．a2＋b2＝1 C．a2＋b2<1 D．a2b2＝1 解析：选B.由柯西不等式可得1＝(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1， 当且仅当＝时，上式取等号，所以ab＝，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，故a2＋b2＝1. 【思维升华】　利用柯西不等式判断不等式是否成立，要根据不等式两边的特点，合理变形，使其符合柯西不等式的形式，再进行判断． 题型三　利用柯西不等式证明不等式 [例3] 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2. 当且仅当b1＝b2时，等号成立． [例4] 已知a1，a2，…，an都是实数，求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a. 证明：根据柯西不等式，有(12＋12＋…＋12),\s\do4(n个)) (a＋a＋…＋a)≥(1×a1＋1×a2＋…＋1×an)2， 所以(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a. 【思维升华】　利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不等式的结构形式． [对点练]　(1)(2024·江苏南通一模)已知a、b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　 ) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：选B.∵a2＋b2＝4，由柯西不等式可得(32＋22)(a2＋b2)≥(3a＋2b)2，即(3a＋2b)2≤13×4＝52，∴－2≤3a＋2b≤2.当且仅当a＝，b＝时，3a＋2b取得最大值，因此3a＋2b的最大值为2. (2)已知A，B，C是△ABC的三个内角的弧度数，则＋＋与的大小关系为(　　) A．＋＋≥ B．＋＋≤ C．＋＋> D．＋＋< 解析：选A.由柯西不等式，得(＋＋)(A＋B＋C)≥(·＋·＋·)2＝9， ∵A＋B＋C＝π，∴＋＋≥， 当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立． (3)函数y＝2＋的最大值为________． 解析：∵y＝2 ＋＝＋＋≤·＝， 当且仅当 ＝，即x＝时等号成立，∴函数y的最大值为 . 答案： (4)实数x、y满足x2＋y2＝20，则xy＋8x＋y的最大值是____________． 解析：(xy＋8x＋y)2≤(x2＋82＋y2)(y2＋x2＋12)＝84×21＝422，当且仅当x＝4，y＝2时，取得最大值为42. 答案：42 (5)已知ai>0，且a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，证明：①≥7＋2 ； ②＋＋<7. 证明：①因为a1＋a3＝1， 所以(2＋)(1＋)＝(2＋)(1＋)＝＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋2 . 当且仅当＝，即a1＝－2，a3＝3－时取等号． ②由柯西不等式得： (1＋2＋3)≥[ ＋＋]2， 所以 ＋＋≤ ＝＝， 当且仅当 ＝＝时，取等号， 故＋＋≤<7. 学科网（北京）股份有限公司 $$